平均流速公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/23 07:35 UTC 版)
図6: 層流の流速分布 U {\displaystyle U} （赤線） - 流速 h {\displaystyle h} （青線） - 水深 U m a x {\displaystyle U_{\rm {max}}} - 最大流速 v {\displaystyle v} - 平均流速 茶色のハッチング - 河床（地盤） 図7: 各平均流速公式による平均流速の変化概形 v {\displaystyle v} （赤線） - 平均流速 h {\displaystyle h} - 水深 laminer flow - 層流の平均流速公式 turbulent flow - 乱流の平均流速公式（対数則） Chezy formula - シェジー式 Manning formula - マニング式 流れの平均流速を算出する式として、ここでは層流の場合の理論式と、乱流の場合の対数則、および経験則としてシェジー式とマニング式を説明する。 まず、流れが層流の場合を考える。するとこの時、主流速 U {\displaystyle U} の河床に垂直方向の分布は U = g I 2 ν y ( 2 h − y ) {\displaystyle U={\frac {gI}{2\nu }}y\left(2h-y\right)} となり、図6のように放物線を描く。よって、その最大流速 u m a x {\displaystyle u_{\rm {max}}} は水面で最大値 U m a x = g I h 2 2 ν {\displaystyle U_{\rm {max}}={\frac {gIh^{2}}{2\nu }}} をとり、平均流速 v {\displaystyle v} は v = g I h 2 3 ν = 2 3 U m a x {\displaystyle v={\frac {gIh^{2}}{3\nu }}={\frac {2}{3}}U_{\rm {max}}} となる。これが流れが層流の場合の平均流速公式である。 またこの時、河床から 0.42 h {\displaystyle 0.42h} の点で平均流速をとることが分かり、実際に平均流速を測定するためには 水面下 0.6 h {\displaystyle 0.6h} の点の流速を直接測定する 水面下 0.2 h {\displaystyle 0.2h} と 0.8 h {\displaystyle 0.8h} の点の流速を測定し、放物線で当てはめる といった方法が使われる。 しかし一方、自然界の流れの大半は乱流であり、この層流の場合の式は厳密に言えば適合しない。乱流の場合は、プラントルとカルマンが管路流に対して提案した流速分布の対数則（英語版）を開水路に適用して u u ∗ = A + 5.75 log 10 y k {\displaystyle {\frac {u}{u_{*}}}=A+5.75\log _{10}{\frac {y}{k}}} および v u ∗ = B + 5.75 log 10 h k {\displaystyle {\frac {v}{u_{*}}}=B+5.75\log _{10}{\frac {h}{k}}} を使うことができる。ここで、 u ∗ {\displaystyle u_{*}} は摩擦速度、 A , B {\displaystyle A,B} はパラメータ u ∗ k ν {\displaystyle {\frac {u_{*}k}{\nu }}} によって決まる定数、 k {\displaystyle k} は壁面粗さの平均高さである。 以上までは理論的あるいは半理論的に導出した公式であるが、経験則として、昔から様々な等流公式が提案されてきた。その中で現在よく使われる公式は次の2つである。 シェジー式 v = C R I {\displaystyle v=C{\sqrt {RI}}} マニング式 v = 1 n R 2 3 I 1 2 {\displaystyle v={\frac {1}{n}}R^{\frac {2}{3}}I^{\frac {1}{2}}} ここで、 C , n {\displaystyle C,n} はそれぞれシェジー係数、マニングの粗度係数と呼ばれる係数であり、流れやすさあるいは流れにくさを表すものである。この2つの係数と摩擦損失係数 f {\displaystyle f} は以下のような関係式を満たす。 n − C {\displaystyle n-C} 関係 n − f {\displaystyle n-f} 関係 C − f {\displaystyle C-f} 関係 n = R 1 6 C {\displaystyle n={\frac {R^{\frac {1}{6}}}{C}}} n 2 = f R 1 3 2 g {\displaystyle n^{2}={\frac {fR^{\frac {1}{3}}}{2g}}} C 2 = 2 g f {\displaystyle C^{2}={\frac {2g}{f}}} シェジー式もマニング式も平均流速が勾配 I {\displaystyle I} の1/2乗に比例しているという点で共通しており、ダルシー・ワイスバッハ式と同形であるので、粗面乱流（摩擦損失係数がレイノルズ数に依存しない領域）で妥当であると考えられる。式の上での違いは径深の1/6乗分だけであるが、水理学的意味合いにおいて両者には大きな違いがある。 まず、シェジー式はコントロールボリュームに作用する圧力・重力および河床摩擦力がつりあっているという条件とダルシー・ワイスバッハ式から導くことができる。一方のマニング式は、（半）理論的な対数則によって比較的広い範囲で n ≃ 1 24 k s 1 6 {\displaystyle n\simeq {\frac {1}{24}}{k_{s}}^{\frac {1}{6}}} （ただし単位はメートルと秒）と関連付けられ、粗度粒径 k s {\displaystyle k_{s}} が一定ならば流れに関係なくマニング係数が一定となるので、水理学的合理性がある。 また、水深に対して水路幅が十分に広い長方形水路において、等流となる水深（等流水深） h o {\displaystyle h_{o}} を平均流速公式から逆算すると シェジー式 h o = ( Q 2 C 2 B 2 I ) 1 3 {\displaystyle h_{o}=\left({\frac {Q^{2}}{C^{2}B^{2}I}}\right)^{\frac {1}{3}}} マニング式 h o = ( n 2 Q 2 B 2 I ) 0.3 {\displaystyle h_{o}=\left({\frac {n^{2}Q^{2}}{B^{2}I}}\right)^{0.3}} となり（ Q {\displaystyle Q} : 流量、 B {\displaystyle B} : 水路幅）、射流と常流、限界水深でみた限界水深の算出式と比べるとマニング式よりシェジー式の方が同形で解析上見通しがよいことが分かる。 一方、マニング式はシェジー式と比べて自然河川における等流状態を良好に表現しているため、河川工学上優れている。そのため、マニング式は世界中で使用されており、日本における河川行政においてはほとんどマニング式のみが用いられている。こういった事情から、マニングの粗度係数は河川データベースに必要不可欠なものであり、この値は、コンクリート開水路(0.015)、土製直線状開水路(0.02)、岩盤直線状開水路(0.03)、直線状自然河川(0.03)、蛇行河川(0.04)程度でこの順に大きくなっている（水が流れにくい）。表2、表3に一般的に知られているマニングの粗度係数の詳しい値を載せる。 表2: 人工水路のマニング粗度係数水路の状況 n [ s 2 / m 1 / 3 ] {\displaystyle n{\rm {[s^{2}/m^{1/3}]}}} 滑らかな木材 0.010 - 0.014 切石のモルタル積 0.013 - 0.017 コンクリート水路 0.012 - 0.018 洗掘がない粘土質河床水路 0.016 - 0.022 直線状の土開削水路 0.017 - 0.025 粗石のモルタル積 0.017 - 0.030 砂質・粘土質ローム 平均して0.020 スパイラル半管水路 0.021 - 0.030 蛇行した土開削水路 0.023 - 0.030 泥土床の両岸石張水路 平均して0.025 雑草は少なめのドラグライン浚渫 0.025 - 0.033 滑表面の岩盤開削水路 0.025 - 0.035 岩盤整正 0.025 - 0.04 粗表面の岩盤開削水路 0.035 - 0.045 岩盤掘りっ放し 0.035 - 0.05 表3: 自然河川のマニング粗度係数水路の状況 n [ s 2 / m 1 / 3 ] {\displaystyle n{\rm {[s^{2}/m^{1/3}]}}} 蛇行の少ない粘土・砂質河床の大水路 0.018 - 0.035 雑草のない平野の小水路 0.025 - 0.033 流路の線形・断面が規則正しく水深が深い 0.025 - 0.033 礫質河床の大水路 0.025 - 0.040 雑草・灌木のある平野の小水路 0.030 - 0.040 流路の線形・断面が規則正しく水深が深く河床が礫で草岸 0.030 - 0.040 山地の砂利あるいは玉石河床の水路 0.030 - 0.050 瀬淵があり蛇行している 0.033 - 0.045 雑草の多い平野の礫質河床の小水路 0.040 - 0.055 瀬淵があり水深が小さい 0.040 - 0.055 山地の玉石あるいは大玉石河床の水路 0.040 - 水草が多い 0.050 - 0.080
※この「平均流速公式」の解説は、「開水路」の解説の一部です。
「平均流速公式」を含む「開水路」の記事については、「開水路」の概要を参照ください。
- 平均流速公式のページへのリンク
