(整級数 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/25 16:37 UTC 版)
数学 において、（一変数の）冪級数 （べききゅうすう、英 : power series ）あるいは整級数 （せいきゅうすう、仏 : série entière ）とは
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
c
)
n
=
a
0
+
a
1
(
x
−
c
)
1
+
a
2
(
x
−
c
)
2
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+\cdots }
任意の多項式 は任意の中心 c のまわりの冪級数として容易に表すことができる。ただし係数のほとんどは 0 になる。冪級数は定義により無限個の項を持つからである。例えば、多項式 f (x ) = x 2 + 2x + 3c = 0
f
(
x
)
=
3
+
2
x
+
1
x
2
+
0
x
3
+
0
x
4
+
⋯
{\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots }
と書くことができ、また中心 c = 1
f
(
x
)
=
6
+
4
(
x
−
1
)
+
1
(
x
−
1
)
2
{\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}}
+
0
(
x
−
1
)
3
+
0
(
x
−
1
)
4
+
⋯
{\displaystyle +0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,}
と書け、他の任意の中心 c のまわりの冪級数としても書ける[1]
幾何級数 の公式
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots }
は、|x | < 1 に対して有効であるが、冪級数の最も重要な例の1つであり、任意の実数 x に対して有効な指数関数の公式
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }
や正弦関数の公式
sin
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
⋯
{\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }
もそうである。これらの冪級数はテイラー級数 の例でもある。
負冪は冪級数においては許されていない。例えば、
1
+
x
−
1
+
x
−
2
+
⋯
{\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }
ローラン級数 ではあるが）。同様に、
x
1
/
2
{\displaystyle x^{1/2}}
ピュイズー級数（英語版 ） を参照）。係数 an が x に依存することは許されていない。したがって例えば
sin
(
x
)
x
+
sin
(
2
x
)
x
2
+
sin
(
3
x
)
x
3
+
⋯
{\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,}
は冪級数ではない。
収束半径 冪級数は変数 x がある値のときには収束し、別の値のときには発散するかもしれない。(x − c ) の冪によるすべての冪級数 f (x )x = c f (c ) = a 0 00 1 と解釈しなければならない。）c が唯一の収束点でなければ、必ず 0 < r ≤ ∞ なるある数 r が存在して、級数は |x − c | < r のときにはいつでも収束し、|x − c | > r のときにはいつでも発散する。この数 r をその冪級数の収束半径
r
=
lim inf
n
→
∞
|
a
n
|
−
1
n
,
{\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}},}
あるいは同じことだが
r
−
1
=
lim sup
n
→
∞
|
a
n
|
1
n
.
{\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}.}
（これはコーシー・アダマールの定理 であり。記号の説明は上極限と下極限 を参照。）それを計算する速い方法は
r
−
1
=
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
{\displaystyle r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|}
である（ただしこの極限が存在するときに限る）。
級数は |x − c | < r に対して絶対収束 し、{x : |x − c | < r } の任意のコンパクト 部分集合 上一様収束 する。つまり、級数は収束円板の内部において絶対かつコンパクト収束 する。
|x − c | = r に対しては、級数が収束するか発散するかの一般的なステートメントを述べることは出来ない。しかしながら、実変数の場合には、級数が x において収束するならば級数の和は x において連続である（ただしｃからｘに向かう側だけにおける片側の連続）というアーベルの定理 がある。複素変数の場合には、c と x を結ぶ線分に沿っての連続性しか主張できない。
冪級数の操作 加法と減法 2つの関数 f と g が同じ中心 c のまわりの冪級数で書かれているとき、それらの関数の和や差の冪級数は項ごとの加法と減法によって得られる。つまり、
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
c
)
n
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}
g
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
b
n
(
x
−
c
)
n
{\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}
であるとき、
f
(
x
)
±
g
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
a
n
±
b
n
)
(
x
−
c
)
n
{\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}}
である。
乗法と除法 上と同じ定義で、関数の積と商の冪級数は以下のように得られる：
f
(
x
)
g
(
x
)
=
(
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
c
)
n
)
(
∑
n
=
0
∞
b
n
(
x
−
c
)
n
)
=
∑
i
=
0
∞
∑
j
=
0
∞
a
i
b
j
(
x
−
c
)
i
+
j
=
∑
n
=
0
∞
(
∑
i
=
0
n
a
i
b
n
−
i
)
(
x
−
c
)
n
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.\end{aligned}}}
数列
m
n
=
∑
i
=
0
n
a
i
b
n
−
i
{\displaystyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}
an と bn の畳み込み と呼ばれる。
除法については、
f
(
x
)
g
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
c
)
n
∑
n
=
0
∞
b
n
(
x
−
c
)
n
=
∑
n
=
0
∞
d
n
(
x
−
c
)
n
{\displaystyle {f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}
f
(
x
)
=
(
∑
n
=
0
∞
b
n
(
x
−
c
)
n
)
(
∑
n
=
0
∞
d
n
(
x
−
c
)
n
)
{\displaystyle f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)}
として、上を用い、係数を比較する。（零ではない初めてのa_nの添え字が零ではない初めてのｂ_nの添え字よりも"以上"になっていなければ、除法は冪級数を与えないことに注意。）
微分と積分 関数が冪級数として与えられると、それは収束領域の内部 で微分可能 である。それは極めて容易に微分 および積分 ができる。各項ごとに扱えばよい：
f
′
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
n
(
x
−
c
)
n
−
1
=
∑
n
=
0
∞
a
n
+
1
(
n
+
1
)
(
x
−
c
)
n
{\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}}
∫
f
(
x
)
d
x
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
c
)
n
+
1
n
+
1
+
k
=
∑
n
=
1
∞
a
n
−
1
(
x
−
c
)
n
n
+
k
.
{\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.}
（ただしここでｋは不定積分の積分定数を表している）
これら項別に微分あるいは積分して得られた級数はどちらももとの級数と同じ収束半径を持つ。
解析関数 R C 開集合 上定義された関数 f が解析的 (analytic) であるとは、局所的に収束冪級数によって与えられることをいう。つまり、すべての a ∈ U 開近傍 V ⊆ U a を中心に持つ冪級数ですべての x ∈ V f (x )
収束半径が正のすべての冪級数はその収束域の内部で解析的である。すべての正則関数 は複素解析的である。解析関数の和や積は解析的であり、商も分母が非零である限り正則である。
関数が解析的であれば、無限回微分可能であるが、実の場合には逆は一般には正しくない。解析関数に対し、係数 an は
a
n
=
f
(
n
)
(
c
)
n
!
{\displaystyle a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}}
と計算できる。ここで
f
(
n
)
(
c
)
{\displaystyle f^{(n)}(c)}
f の c における n 階微分を表し、
f
(
0
)
(
c
)
=
f
(
c
)
{\displaystyle f^{(0)}(c)=f(c)}
テイラー級数 によって表されることを意味する。
解析関数の大域的な形はその局所的な振る舞いによって次の意味で完全に決定される： f と g が同じ連結 開集合 U 上定義された2つの解析関数で、ある元 c ∈ U n ≥ 0f (n ) (c ) = g (n ) (c )x ∈ U f (x ) = g (x )
収束半径 r の冪級数が与えられると、級数の解析接続 を考えることができる。つまり { x : |x − c | < r } よりも（一般的には）大きい集合上で定義され、この集合上では与えられた冪級数に一致するような解析関数 f を考えることができる。そのとき収束半径 r は、ｃを中心として級数の解析接続ｆが解析的ではない複素数の点ｘを周上に持つような最小の円板の半径になる。冪級数が収束する範囲の複素円板をその級数の収束円と呼ぶ。（冪級数によってはその収束円がその冪級数の定義する解析関数の自然境界となっていてそれを超えた解析接続がまったく行えないものもある。）
解析関数の逆関数 の冪級数展開はラグランジュの反転定理（英語版 ） を用いて決定することができる。
形式的冪級数 抽象代数学 において、冪級数の本質を、実数や複素数の体 に制限されることなく、また収束について議論する必要なく、捉えようと試みられる。これは形式的冪級数 の概念、代数的組合せ論（英語版 ） においてとても有益な概念、を導く。
多変数の冪級数 理論の拡張は多変数微積分学 の目的のために必要である。ここで冪級数 は
f
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
j
1
,
…
,
j
n
=
0
∞
a
j
1
,
…
,
j
n
∏
k
=
1
n
(
x
k
−
c
k
)
j
k
{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}}}
の形の無限級数として定義される。ただし j = (j 1 , ..., j n a (j1 ,...,jn ) c = (c 1 , ..., c n x = (x 1 , ..., x n
Π
{\displaystyle \Pi }
総乗 を表す。より便利な多重指数 表記を用いてこれは
f
(
x
)
=
∑
α
∈
N
n
a
α
(
x
−
c
)
α
{\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }}
と書くことができる。ただし
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
自然数 全体の集合であり、したがって
N
n
{\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}
n 個の自然数の組 全体の集合である。
そのような級数の理論は一変数の級数よりもトリッキーで、収束域は複雑である。例えば、冪級数
∑
n
=
0
∞
x
1
n
x
2
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}
双曲線 の間の集合
{
(
x
1
,
x
2
)
:
|
x
1
x
2
|
<
1
}
{\displaystyle \{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}}
log 凸集合 の例である、つまり
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2})}
(
log
|
x
1
|
,
log
|
x
2
|
)
{\displaystyle (\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)}
c = 0
冪級数のオーダー α を冪級数 f (x 1 , x 2 , …, x n f のオーダー (order) は a α |α | と定義される。ただし f ≡ 00 と定義される。とくに、一変数 x の冪級数 f (x )f のオーダーは非零係数を持つ x の最小冪である。この定義は直ちにローラン級数 に拡張される。
関連項目 脚注 参考文献 外部リンク
