零点が孤立すること
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 06:37 UTC 版)
以下、U はガウス平面 ℂ の開集合、f: U → ℂ は正則で、U の元 a は f の零点 (f(a) = 0) とする。このとき函数 f は、適当な半径 r の開円板 D(a; r) ⊂ U において、整級数 f ( z ) = ∑ k = 1 ∞ α k ( z − a ) k ( ∀ z ∈ D ( a ; r ) ) {\displaystyle f(z)=\sum _{k=1}^{\infty }\alpha _{k}(z-a)^{k}\quad (\forall z\in D(a;r))} に展開することができる。ここで定数項は α0 = f(a) = 0 だから、添字は 1 から始まっていることに注意。また各項の係数は αk = f(k)(a)⁄k! で与えられる。 定義 (孤立零点) 複素函数 f の零点 a が孤立するとは、それが f の零点集合の孤立点となる（すなわち、a を中心とする十分小さな円板をとれば、その中に含まれる f の零点が a のみであるようにすることができる）ときに言う。 上記の級数展開において、以下の二者択一が考えられる: 任意の整数 k > 0 に対して αk = 0、すなわち f は D(a; r) 上恒等的に消えている。この場合、零点 a は孤立しない。 さもなくば、零でない係数を持つ最小の項の添字、すなわち αn ≠ 0 かつ αk = 0 (k < n) を満たす n > 1 が存在して、上記の級数を f ( z ) = ∑ k = n ∞ α k ( z − a ) k = ( z − a ) n g ( z ) , ( g ( z ) = ∑ ℓ = 0 ∞ α ℓ + n ( z − a ) ℓ ) {\displaystyle f(z)=\sum _{k=n}^{\infty }\alpha _{k}(z-a)^{k}=(z-a)^{n}g(z),\quad (g(z)=\sum _{\ell =0}^{\infty }\alpha _{\ell +n}(z-a)^{\ell })} の形に書くことができる。ここに、函数 g は g(a) = αn ≠ 0 を満たす解析函数となる。g の a における連続性により、適当な実数 r (0 < r1 < r) が存在して、開円板 D(a; r1) 上で g が消えないようにすることができるから、まとめると f ( z ) = ( z − a ) n g ( z ) , g ( z ) ≠ 0 ( ∀ z ∈ D ( a ; r 1 ) ) {\displaystyle f(z)=(z-a)^{n}g(z),\quad g(z)\neq 0\quad (\forall z\in D(a;r_{1}))} となり、f は D(a; r1) 上 a のみで消える。すなわち、a は孤立零点である。 以上のことを、以下の定義および定理にまとめることができる。 定義 (零点の重複度) 正則函数 f の孤立零点 a の重複度が n であるとは、自然数 n が、任意の自然数 k < n に対して f(k)(a) = 0 かつ f(n)(a) ≠ 0 を満たすときに言う。このとき a は n-位の零点であるという。また、n = 1 のときは a を単純零点 (simple zero) とも呼ぶ。 a が f の n-位の孤立零点であるための必要十分条件は、U に含まれる適当な開円板 D(a; r) 上で定義された正則函数 g が存在して、f(z) = (z − a)ng(z) (∀z ∈ D(a; r)) かつ g(a) ≠ 0 が満たされることである。 定理 (孤立零点の原理) f の零点 a が孤立しないならば、U に属する適当な円板 D(a; r) 上で f は恒等的に消えている。
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