零点と極値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 10:02 UTC 版)
第1種チェビシェフ多項式 T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} は区間 ( − 1 , + 1 ) {\displaystyle (-1,+1)} に n {\displaystyle n} 個の零点を持つ。その座標は x k = cos ( 2 k + 1 2 n π ) ( k = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 ) {\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {2k+1}{2n}}\pi \right)\ \ (k=0,1,\cdots ,n-1)} である。これを Chebyshev node と呼ぶ。 T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} ( n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} ) は区間 [ − 1 , + 1 ] {\displaystyle [-1,+1]} に n + 1 {\displaystyle n+1} 個の極値点を持ち（そのうちの二点は区間の両端）、その座標は x k ′ = cos ( k π n ) ( k = 0 , 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle x'_{k}=\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)\ \ (k=0,1,\cdots ,n)} である。またその極点値は T n ( x k ′ ) = ( − 1 ) k {\displaystyle T_{n}(x'_{k})=(-1)^{k}} を満たす。従ってチェビシェフ多項式の区間 [ − 1 , + 1 ] {\displaystyle [-1,+1]} での一様ノルムは 1 {\displaystyle 1} である。
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