数列 定義

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数列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/23 14:35 UTC 版)

定義

S を自然数全体の集合 N またはその n における切片 {0, 1, 2, …, n} とするとき、S から実数（あるいは複素数）への関数 a を数列（すうれつ、英: sequence）と呼び、順序付けられた数の並びとして

a₀, a₁, a₂, …, a_n, …

のように記す。各数 a_i をこの数列の項という。すなわち、関数 a の n における値を a_n と書き、列のn 番目の項と考える。また、(a_k)_{k=0,1,2,…,n,…} あるいは、慣習的に {a_k}_{k=0,1,2,…,n,…}（または単に {a_n}）とも表す。

各項を表すために添えられる n を数列 a の添字 (index) という。添字が 0 からでなくてもよいことは既述のとおりであるが、その場合にも（特に n が自然数以外の値をとる場合でも）形式的に「a_n は n 番目の項である」と言うことがある。

任意の添字 n に対応する項 a_n を一般項 (general term) という。一般項は必ずしも n の明示的な式として定まっているわけではないし、一般にその必要もないが、n を勝手に指定したときに対応する項 a_n がきちんと定まることが言える必要はある。

関数 a の定義域を整数全体の集合 Z に変え、初項や末項のない両側無限列 (a_n)_n∈Z を考えることもある。両側無限列は実質的に 2 つの片側無限列の合成であり、n = 0 などを基準に番号の付け替えを行えば、1 つの片側無限列に直すことができる。

数列 (a_n) の各項 a_n がそれ以前の項 (a₀, …, a_n) を用いて帰納的に定められるならば、その帰納的関係式をその数列が満たす漸化式と呼び、数列 (a_n) はその漸化式（と初期値）によって定められるという。