奇数 奇数の概要

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奇数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/10/04 18:59 UTC 版)

正負を問わず、−15, −3, 1, 7, 19 などはすべて奇数である。十進法では、一の位が 1, 3, 5, 7, 9 である数は奇数である。二進法では、2⁰ の位（即ち一の位）が 1 ならば奇数で、一の位が 0 ならば偶数である。一般に 2n 進法（n は自然数）において、ある数が偶数であるか奇数であるかは、一の位（n⁰ の位）を見るだけで判別できる。

偶数と奇数は、位数が 2 の体の例を与える。

名称の由来

奇数は英語の "odd number" の訳である。"odd" には「奇妙な、偏った」という意味がある。

ギリシャの哲学者フィロラオスは次のように言ったとされる。「数字には特別な二種類がある。奇 (odd) と偶 (even) である。そしてこれらの混合が第三の要素として even-odd を生じる」。

この「odd」とは、二つに分けた際どちらか一方が偏るという意味だと推測される。

数学的性質

以下、n は正の整数（自然数）であるとする。

• 偶数と奇数の和、差はともに奇数である。奇数と奇数の積も、また奇数である。
• 奇数と奇数の和、奇数と偶数の積はともに偶数である。
• 負の実数の奇数乗は、負の実数になる。
• 五進法など「奇数進法」では、1÷2 のみならず 1÷偶数 が割り切れない。即ち、「半分」を有限小数として表現できない。
• 同じく、十六進法など「二の累乗数進法」では、1÷奇数（1と-1を除く） が割り切れない。即ち、「1/3」や「1/5」などを有限小数として表現できない。
• 2 以外の全ての素数は奇数である。つまり 3 以上の素数は全て奇数であり、それらを奇素数という。
• フィボナッチ数のうち奇数であるのは、3n − 2 番目と 3n − 1 番目のフィボナッチ数である。
• 三角数のうち奇数であるのは、4n − 3 番目と 4n − 2 番目の三角数のみである。
• 平方数（四角数）のうち奇数であるのは、2n − 1番目の平方数のみである。
• 最小の正の奇数である 1 から n 番目の正の奇数（2n − 1）までの全ての奇数を足し合わせると、n 番目の平方数に等しくなる。
• 数論的関数を用いて、以下が知られている。

$\sigma _{1}(N)/N=n/d$ (n, d ∈ N^*) かつ ω(N) = k　が成り立つような正の奇数 N は、$(d+1)^{4^{k}}$ より小さい。（ペース・ニールセン）

• 6 以外の完全数は奇数の立方和で表せる。
• 約数の和は平方数と平方数の2倍の数の場合のみ奇数である。これは平方数の約数の個数が奇数になることと、偶数の素数が2しかないためである。

未解決問題

知られている完全数は全て偶数であり、奇数の完全数が存在するかどうかは分かっていない。

約数の和で表せる奇数は、大抵の表せる個数は1個である。2個以上の約数の和で表せる奇数が無数にあるかどうかは分かっていない。