証明理論と型理論とは? わかりやすく解説

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証明理論と型理論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/01 09:51 UTC 版)

自然演繹」の記事における「証明理論と型理論」の解説

ここまで説明は、命題性質重きを置いており、「証明」の形式的定義をしていなかった。証明形式的に記述するには、仮説的導出の記法を若干変える必要がある前件に(変項の無限可算集合 V から)「証明変項; proof variables」によるラベル付け後件実際の証明装飾する前件あるいは仮説ターンスタイル(⊢)を挟んで後件前に記されるこのような変形を「局所化仮説; localized hypotheses」と呼ぶこともある。以上の変更を図にまとめると次のうになる。 ---- u1 ---- u2 ... ---- un J1 J2 Jn ⋮ J ⇒ u1:J1, u2:J2, ..., un:Jn ⊢ J 詳細不要な場合仮説群まとめて Γ と記す。証明正確にするには、証明不能な判断 "A true" ではなく、"π is a proof of (A true)"(πは A true の証明である)という判断を扱う。これを記号的に "π : A true" と記する標準的手法では、証明判断proof" に構成規則適用することで示される。最も単純な証明として、ラベル付き仮説使ったものがある。この場合証拠ラベル自身である。 u ∈ V------- proof-Fu proof --------------------- hypu:A true ⊢ u : A true 簡潔さを保つため、以下では判断ラベル true省略する。従って、"Γ ⊢ π : A" となる。ここで、明確な証明いくつかの結合子再評価する。論理積については、論理積の証明形式を見つけるために、その導入規則 ∧I を見てみる。それらは、2つ要素の証明の対となる。従って、次のうになる。 π1 proof π2 proof-------------------- pair-F(π1, π2) proof Γ ⊢ π1 : A Γ ⊢ π2 : B------------------------ ∧IΓ ⊢ (π1, π2) : A ∧ B 除去規則E1 と ∧E2論理積の右か左のいずれか要素選択する。従って、証明2つ投影第一 = fst第二 = snd)の対となる。 π proof----------- fst-Ffst π proof Γ ⊢ π : A ∧ B------------- ∧E1Γ ⊢ fst π : A π proof----------- snd-Fsnd π proof Γ ⊢ π : A ∧ B------------- ∧E2Γ ⊢ snd π : B 含意については、導入によって仮説局所化(あるいは束縛)が形成され、これを λ を使って記述する規則にある "Γ, u:A" は、仮説群 Γ に追加仮説 u を加えることを意味する。 π proof------------ λ-Fλu. π proof Γ, u:A ⊢ π : B----------------- ⊃IΓ ⊢ λu. π : A ⊃ B π1 proof π2 proof------------------- app-Fπ1 π2 proof Γ ⊢ π1 : A ⊃ B Γ ⊢ π2 : A---------------------------- ⊃EΓ ⊢ π1 π2 : B 明確化された証明では、証明処理し論じることが可能となる。証明に関する重要な操作は、ある証明別の証明前提置き換える操作である。これを一般に代入定理; substitution theorem」と呼び数学的帰納法によって証明可能である。 代入定理 Γ ⊢ π1 : A かつ Γ, u:A ⊢ π2 : B なら、 Γ ⊢ [π1/u] π2 : B である。 これまで判断 "Γ ⊢ π : A" は、純粋に論理的な意味しかなかった。型理論では、論理的な観点からより計算的な観点へと変換が行われる。論理的に命題とされていたものが「型」となり、証明ラムダ計算におけるプログラムとなる。従って、"π : A" は、「プログラム π の型は A である」という解釈になる。論理結合子異なった解釈となる。論理積は積(×)、含意関数矢印(→)などとなる。ただし、これらの違いは単に表面的なのである型理論では、構成規則導入規則除去規則自然演繹的に表現する実際自然演繹知っていれば、単純階型理論容易に理解できる論理型理論違いは、焦点が型(命題)からプログラム証明)に移っている点である。型理論は、プログラム変換可能性還元可能性興味中心がある。全ての型について、還元不可能な正規プログラム存在する。これを「正規形」または「値」と呼ぶ。全てのプログラム正規形還元可能なら、その型理論は「正規化; normalising」(あるいは弱正規化)されていると言える正規形唯一である場合その理論は「強正規化; strongly normalising」されていると言える正規化性は複雑な型理論では滅多にない特性であり、その点で論理世界とは一線を画すことになる(多く論理において、論理導出には等価正規導出があるという事実を思い出していただきたい)。再帰的定義可能な型理論では、1つの値に還元できないプログラム書くことが可能である。そのようなプログラム一般にいかなる型も与えることが可能である。特に、再帰プログラムは型 ⊥ を持つこともあるが、"⊥ true" についての論理的証明存在しない。以上から、「型としての命題プログラムとしての証明」というパラダイム一方向にしか働かない。もし型理論論理無理やり変換したとしても、一貫性のない論理しか得られない論理と同様、型理論には様々な拡張変種があり、一階版も高階版もある。型理論興味深い変種として依存型理論がある。これは、プログラム全体量化施せるものである量化型は ∀ と ∃ の代わりに Π と Σ を使って記述する構成規則次のうになる。 Γ ⊢ A type Γ, x:A ⊢ B type----------------------------- Π-FΓ ⊢ Πx:A. B type Γ ⊢ A type Γ, x:A ⊢ B type---------------------------- Σ-FΓ ⊢ Σx:A. B type これらの型は矢印と積の型の一般化であり、導入規則除去規則次のうになる。 Γ, x:A ⊢ π : B-------------------- ΠIΓ ⊢ λx. π : Πx:A. B Γ ⊢ π1 : Πx:A. B Γ ⊢ π2 : A----------------------------- ΠEΓ ⊢ π1 π2 : [π2/x] B Γ ⊢ π1 : A Γ, x:A ⊢ π2 : B----------------------------- ΣIΓ ⊢ (π1, π2) : Σx:A. B Γ ⊢ π : Σx:A. B---------------- ΣE1Γ ⊢ fst π : A Γ ⊢ π : Σx:A. B------------------------ ΣE2Γ ⊢ snd π : [fst π/x] B 普遍的な依存型理論は非常に強力であり、プログラム想像可能ないかなる属性プログラムの型で直接表すことができる。ただし、その普遍性引き換えに、あるプログラムがある型であるかを決定不能となっている。このため依存型理論実際に使う場合任意のプログラム量化許さないで、特定の決定可能領域整数文字列線形プログラムなど)のみを扱うことが多い。 依存型理論では型がプログラム依存することを許すのだが、そこから自然に生じ疑問として、プログラムが型に依存するとか他の組合せ依存は可能か、というものがある。この疑問には様々な答えがある。一般的な手法プログラムを型に関して量化するもので、「パラメトリック・ポリモルフィズム」と呼ぶ。これは、型とプログラム明確に区別する断定的ポリモルフィズム」と、両者区別あいまいな「非断定的ポリモルフィズム」に分類される依存性ポリモルフィズム組合せ様々なものが考えられHenk Barendregt の ラムダ・キューブが有名である。 論理型理論境界領域は、研究盛んな分野である。新たな論理は、論理フレームワークとして型理論設定形式化されることが多い。そのような論理フレームワークとして、calculus of constructions や LF高階依存型理論基づいており、決定可能性表現能力トレードオフ考慮して考案されている。これらの論理フレームワーク自体は常に自然演繹体系則っており、自然演繹手法汎用性示している。

※この「証明理論と型理論」の解説は、「自然演繹」の解説の一部です。
「証明理論と型理論」を含む「自然演繹」の記事については、「自然演繹」の概要を参照ください。

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