証明第二段階
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/17 06:31 UTC 版)
（2） μ ( x , y ) = 1 4 π 2 ∫ r = 0 r = ∞ ∫ θ = 0 θ = 2 π p ~ ( r , θ ) exp ( i < ( r cos θ , − r sin θ ) | ( x , y ) > ) r d r d θ {\displaystyle {\mu }(x,y)={\frac {1}{4{\pi }^{2}}}{\int }_{r=0}^{r=\infty }{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\tilde {p}}(r,\theta )\exp(i<(r\cos \theta ,-r\sin \theta )|(x,y)>)rdrd\theta } の証明 第一段階の結論、すなわち、 p ~ ( r , θ ) = μ ^ ( r cos θ , − r sin θ ) {\displaystyle {\tilde {p}}(r,\theta )={\hat {\mu }}(r\cos \theta ,-r\sin \theta )} より、以下の等式が、任意の(x,y)に対して成り立つ。 ∫ r = 0 r = ∞ ∫ θ = 0 θ = 2 π p ~ ( r , θ ) exp ( i < ( r cos θ , − r sin θ ) | ( x , y ) > ) r d r d θ {\displaystyle {\int }_{r=0}^{r=\infty }{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\tilde {p}}(r,\theta )\exp(i<(r\cos \theta ,-r\sin \theta )|(x,y)>)rdrd\theta } = ∫ r = 0 r = ∞ ∫ θ = 0 θ = 2 π μ ^ ( r cos θ , − r sin θ ) exp ( i < ( r cos θ , − r sin θ ) | ( x , y ) > ) r d r d θ {\displaystyle ={\int }_{r=0}^{r=\infty }{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\hat {\mu }}(r\cos \theta ,-r\sin \theta )\exp(i<(r\cos \theta ,-r\sin \theta )|(x,y)>)rdrd\theta } 上式の右辺に、以下の変数変換: ξ ( r , θ ) = [ u ( r , θ ) v ( r , θ ) ] = r [ cos θ − sin θ ] {\displaystyle \xi (r,\theta )={\begin{bmatrix}u(r,\theta )\\v(r,\theta )\end{bmatrix}}=r{\begin{bmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \end{bmatrix}}} を施すと、積分の変数変換の公式から、 ∫ r = 0 r = ∞ ∫ θ = 0 θ = 2 π μ ^ ( r cos θ , − r sin θ ) exp ( i < ( r cos θ , − r sin θ ) | ( x , y ) > ) r d r d θ {\displaystyle {\int }_{r=0}^{r=\infty }{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\hat {\mu }}(r\cos \theta ,-r\sin \theta )\exp(i<(r\cos \theta ,-r\sin \theta )|(x,y)>)rdrd\theta } = ∫ u = − ∞ u = ∞ ∫ v = − ∞ v = ∞ μ ^ ( u , v ) exp ( i < ( u , v ) | ( x , y ) > ) d u d v {\displaystyle ={\int }_{u=-\infty }^{u=\infty }{\int }_{v=-\infty }^{v=\infty }{\hat {\mu }}(u,v)\exp(i<(u,v)|(x,y)>)dudv} 一方、二次元のフーリエ逆変換を考えると、 μ ( x , y ) = 1 4 π 2 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ μ ^ ( u , v ) exp ( i ( x u + y v ) ) d u d v {\displaystyle {\mu }(x,y)={\frac {1}{4{\pi }^{2}}}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\hat {\mu }}(u,v)\exp(i(xu+yv))dudv} であるため、 μ ( x , y ) = 1 4 π 2 ∫ r = 0 r = ∞ ∫ θ = 0 θ = 2 π p ~ ( r , θ ) exp ( i < ( r cos θ , − r sin θ ) | ( x , y ) > ) r d r d θ {\displaystyle {\mu }(x,y)={\frac {1}{4{\pi }^{2}}}{\int }_{r=0}^{r=\infty }{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\tilde {p}}(r,\theta )\exp(i<(r\cos \theta ,-r\sin \theta )|(x,y)>)rdrd\theta } を得る。
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