証明第一段階
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/17 06:31 UTC 版)
（1） p ~ ( r , θ ) = μ ^ ( r cos θ , − r sin θ ) {\displaystyle {\tilde {p}}(r,\theta )={\hat {\mu }}(r\cos \theta ,-r\sin \theta )} の証明 p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )} を、変数sについてフーリエ変換（一変数関数としてフーリエ変換）したものを、 p ~ ( r , θ ) {\displaystyle {\tilde {p}}(r,\theta )} とする。即ち、 p ~ ( r , θ ) = ∫ s = − ∞ s = ∞ p ( s , θ ) exp ( i s r ) d s {\displaystyle {\tilde {p}}(r,\theta )={\int }_{s=-\infty }^{s=\infty }p(s,\theta )\exp(isr)ds} とする。これは、上記ステップ（1）の変換に他ならない。当たり前のことだが、この p ~ ( r , θ ) {\displaystyle {\tilde {p}}(r,\theta )} は、 p ^ ( u , v ) {\displaystyle {\hat {p}}(u,v)} とは別物である。そもそも定義が異なる。 今、 p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )} の定義式、即ち、 p ( s , θ ) = ∫ t = − ∞ t = ∞ μ ( s cos θ − t sin θ , s sin θ + t cos θ ) d t {\displaystyle p(s,\theta )={\int }_{t=-\infty }^{t=\infty }\mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )\,dt} を、上式に代入すると、 p ~ ( r , θ ) = ∫ − ∞ ∞ p ( s , θ ) exp ( i s r ) d s {\displaystyle {\tilde {p}}(r,\theta )={\int }_{-\infty }^{\infty }p(s,\theta )\exp(isr)ds} = ∫ − ∞ ∞ { ∫ − ∞ ∞ μ ( s cos θ − t sin θ , s sin θ + t cos θ ) d t } exp ( i s r ) d s {\displaystyle ={\int }_{-\infty }^{\infty }\left\{{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )\,dt\right\}\exp(isr)ds} = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ μ ( s cos θ − t sin θ , s sin θ + t cos θ ) exp ( i s r ) d t d s {\displaystyle ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )\exp(isr)\,dtds} である。 今、2変数ベクトル値関数 φ θ ( x , y ) {\displaystyle {\varphi }_{\theta }(x,y)} と、 ψ θ ( s , t ) {\displaystyle {\psi }_{\theta }(s,t)} を、それぞれ、 φ θ ( x , y ) = [ s ( x , y ) t ( x , y ) ] = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ x y ] {\displaystyle {\varphi }_{\theta }(x,y)={\begin{bmatrix}s(x,y)\\t(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}} ψ θ ( s , t ) = [ x ( s , t ) y ( s , t ) ] = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ s t ] {\displaystyle {\psi }_{\theta }(s,t)={\begin{bmatrix}x(s,t)\\y(s,t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}s\\t\end{bmatrix}}} と定めると、明らかに、 ψ θ ( φ θ ( x , y ) ) = ( x , y ) {\displaystyle {\psi }_{\theta }({\varphi }_{\theta }(x,y))=(x,y)} である。さらに、 μ ( s cos θ − t sin θ , s sin θ + t cos θ ) = μ ( φ θ ( s , t ) ) {\displaystyle \mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )=\mu ({\varphi }_{\theta }(s,t))} である。従って、 p ~ ( r , θ ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ μ ( ( φ θ ( s , t ) ) ) exp ( i s r ) d t d s {\displaystyle {\tilde {p}}(r,\theta )={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (({\varphi }_{\theta }(s,t)))\exp(isr)\,dtds} である。 さらに、上式を、 d t d s = | J φ θ | d x d y = d x d y {\displaystyle dtds=|J{\varphi }_{\theta }|dxdy=dxdy} exp ( i s r ) = exp ( i r ( x cos θ − y sin θ ) ) = exp ( i < r ( cos θ , − sin θ ) | ( x , y ) > ) {\displaystyle \exp(isr)=\exp(ir(x\cos \theta -y\sin \theta ))=\exp(i
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