関数 (数学)

ウィキペディア

索引トップ用語の索引ランキングカテゴリー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/06/30 15:38 UTC 版)

陽表式と陰伏式

多変数方程式がいくつかの関数関係を定義することもある。例えば

F(x,y)=0

のような式が与えられているとき、x と y は独立に別々の値をとることはできない。x に勝手な値を与えるならば、y は x の値によってとりうる値の制約を受けるからである。このことを以って、独立変数 x と従属変数 y が対応付けられると考えるとき、方程式 F (x, y) = 0 は x の関数 y を陰 (implicit) に定めるといい、y を x の陰伏関数または陰関数 (implicit function) という。これに対して、y = f(x) と表されるような関数関係を、y は x の陽関数 (explicit function) である、あるいは y は x で陽 (explicit) に表されているなどと言い表す。

陰伏的な関数関係が F (x, y) = 0 によって与えられていて、陽な関数関係 y = f(x) が適当な集合 D を定義域として F (x, f(x)) = 0 を満たすなら、この陽関数 y = f(x) は D 上で関係式 F (x, y) = 0 から陰伏的に得られるという。関数の概念を広くとらず、一価で連続である場合や一価正則な場合などに考察を限ることはしばしば行われることであるが、そのような仮定のもとでは陰関数から陰伏的に得られる陽関数は一つとは限らず、一般に一つの陰関数は（定義域や値域でより分けることにより）複数の陽関数に分解される。このとき、陰伏的に得られた個々の陽関数をもとの陰関数の枝という。また、陰関数の複数の枝を総じて扱うならば、陰関数の概念から多価関数の概念を得ることになる。例えば、方程式

y^{2}-x^{2}=1

が定める陰関数 y は全域で 2 つの一価連続な枝

f_{1}(x):={\sqrt {1+x^{2}}},

f_{2}(x):=-{\sqrt {1+x^{2}}}

をもつ二価関数である。

また、媒介変数を導入して関係式を分解し、各変数を媒介変数の陽関数として表すことによって、陰関数を表すこともある。例えば、方程式 2x − 3y = 0 は、媒介変数 t を導入して

{\begin{cases}x=3t,\\y=2t\end{cases}}

と表すことができるが、これによって y と x の陰伏的な関数関係が表されていると考えるのである。

脚注

注釈

^ 但し、1958年の中学校学習指導要領では用語として「一次関数(一次函(かん)数)」と併記しており、「関数」のみになるのは1969年の中学校学習指導要領である。
^ 数学の多くの文脈では函数 (function) と写像 (map) は同じ意味で用いられる。^[15]
^ 例えば Serge Lang^[16] などは "function" を終域が数の集合 (すなわち実数体 $R$ や複素数体 $C$ などの体の部分集合) となる写像を指す場合に限り、より一般の場合には "mapping" を用いている
^ ここでいう「初等的」は必ずしも日常会話的な意味で初等的とは限らない。初等的な数学において遭遇するほとんどの函数は初等函数だが、例えば高次多項式の根を含むなどして日常的な意味で初等的ではないような初等函数も存在する。
^ 例えば単位円の方程式 $x^{2}+y^{2}=1$ は実数全体の成す集合上の二項関係を定める。 $-1 < x < 1$ ならば $y$ として二つの値が可能で、一方は正他方は負である。 $x = \pm 1$ のときは二つの値はともに $0$ になる。それ以外では $y$ は値を持たない。このことから、この方程式は $[-1, 1]$ を定義域とするふたつの陰函数を定義し、それらの値域はそれぞれ $[0, +\infty)$ および $(-\infty, 0]$ である。この例では方程式は $y$ について解くことができて $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$ と陽に書けるが、より複雑な例ではこのようなことが不可能なものも出てくる。例えば方程式 $y^{5}+x+1=0$ は $y$ を超冪根と呼ばれる $x$ の陰函数としてさだめる（定義域・値域ともに $R$ ）。超冪根は四則演算と冪根をとる操作によって表すことができない。
^ 但し、1958年の中学校学習指導要領では用語として「一次関数(一次函(かん)数)」と併記しており、「関数」のみになるのは1969年の中学校学習指導要領である。

出典

^ 馮, 立升「『代微積拾級』の日本への伝播と影響について」『数学史研究』第162号、日本数学史学会、1999年9月、15–28、doi:10.11501/3202759、ISSN 0386-9555、2022年11月2日閲覧。
^ ^a ^b 公田藏「近代日本における, 函数の概念とそれに関連したことがらの受容と普及 (数学史の研究)」『数理解析研究所講究録』第1787巻、京都大学数理解析研究所、2012年4月、265-279頁、CRID 1050282810743929856、hdl:2433/172764、ISSN 1880-2818。
^ ^a ^b 片野, 善一郎『数学用語の由来』明治図書出版、1988年。ISBN 4-18-543002-7。
^ ^a ^b ^c ^d 片野, 善一郎『数学用語と記号ものがたり』裳華房、2003年。ISBN 4-7853-1533-4。
^ 「譯語會記事」『東京數學會社雑誌』第62号、數學會社假事務所、9頁、doi:10.11429/sugakukaisya1877.1884.62_8。
^ 「譯語會記事」『東京數學會社雑誌』第64号、數學會社假事務所、14頁、doi:10.11429/sugakukaisya1877.1884.64_14。
^ 菊池大麓「雜録」『東京數學會社雑誌』第61号、數學會社假事務所、1頁、doi:10.11429/sugakukaisya1877.1883.61_1。菊池大麓「雜録」『東京數學會社雑誌』第63号、數學會社假事務所、1頁、doi:10.11429/sugakukaisya1877.1884.63_1。
^ ^a ^b この経緯については、島田茂 (1981)「学校数学での用語と記号」福原満州雄他『数学と日本語』共立出版 ISBN 4-320-01315-8 pp.135-169 に詳しい。
^ ^a ^b 一松信 (1999)「当用漢字による書き替え」数学セミナー編集部編『数学の言葉づかい100』日本評論社 ISBN 4-535-60613-7 p.5
^ ^a ^b ^c 小松勇作「関数」『数学100の慣用語』数学セミナー1985 年9月増刊、数学セミナー編集部編『数学の言葉づかい100』日本評論社 ISBN 4-535-60613-7 p. 58 に再録
^ 志賀浩二『数学が生まれる物語／第4週座標とグラフ』岩波書店、70頁（1992年）
^ (美国) 羅密士撰『代微積拾級』巻十、(英国) 偉烈亜力口訳、(清) 李善蘭筆述、咸豊9年、1丁裏頁。東北大学附属図書館林文庫蔵。東北大学和算資料データベースで『代微積拾級』を検索することにより、画像ファイルを見ることができる。
^ ^a ^b 飯島徹穂編著、『数の単語帖』、共立出版、2003年、「関数」より。ISBN 978-4-320-01728-3
^ 遠山啓、『[1]』、岩波書店、〈岩波現代文庫〉、2011年。ISBN 978-4-00-603215-9
^ 松坂 1968, p. 28—「A, B が一般の集合である場合にも、A から B への写像を、A から B への関数（中略）ということがある。」
^ Lang, Serge (1971), Linear Algebra (2nd ed.), Addison-Wesley, p. 83
^ Letourneau, Mary; Sharp, Jennifer Wright (2017-10), AMS Style Guide, American Mathematical Society , p. 98, §13.3. Standard abbreviated forms of mathematical expressions and functions.
^ Ron Larson, Bruce H. Edwards (2010), Calculus of a Single Variable, Cengage Learning, p. 19, ISBN 978-0-538-73552-0
^ 日本数学会編、『岩波数学辞典第4版』、岩波書店、2007年、項目「特殊関数」より。ISBN 978-4-00-080309-0 C3541