関数 (数学)

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/19 02:41 UTC 版)

関数を特定するには

函数 $f$ が与えられたとき、定義により、 $f$ の定義域の各点 $x$ に対して $f$ の $x$ における値 $f (x)$ がただ一つ割り当てられる。 $x$ を $f (x)$ に（陰に陽に）関係付ける方法を特定あるいは記述するやり方は様々である。場合によっては、（函数が具体的にどのような姿かたちをしているかについては一切言及せずに）適当な性質を持つ函数の存在を定理や公理によって保証することもあるが、大抵は函数 $f$ の定義の一部としてその特定法や記述法は言及される。

値を書き並べる

有限集合上で定義された函数の場合には、定義域の各点に割り当てられる終域の元を全て書き並べることで函数を定義することができる。例えば $A:=\{1,2,3\}$ のとき函数 $f:A\to \mathbb {R}$ を $f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4$ として与えることができる。

式を与える

算術やその他既知の函数を組み合わせた式（ただし手続き的な操作や無限個の組み合わせではない閉じた形の式（英語版））によって函数が与えられることも多い。そのような式からは、定義域の任意の元の値から函数の値を計算することができる。例えば、一つ前の例の $f$ は ${\textstyle f(n):=n+1\ (n\in \{1,2,3\})}$ とも定義できる。

この方法で函数を定義したとき、その函数がどのような集合上で定義されているかの決定が難しい場合がときどき生じる。例えば定義式が割り算を含む場合には、分母が零になるような変数の値は定義域から除かなければならない。同様に、実函数の定義に平方根が含まれる場合には、平方根の引数が非負となるような変数の値の集合に定義域が収まるようにしなければならない。

関数					形式
初等関数	代数関数
		有理関数
			多項式関数
				定数関数	$f (x) = a$
				一次関数	$f (x) = ax + b$
				二次関数	$ax 2 + bx + c$
				三次関数	$ax 3 + bx 2 + cx + d$
			分数関数		$f (x) = a / x$
		無理関数			${\sqrt {x}}$
	初等超越関数
		指数関数			a^x, e^x, 2^x
		対数関数			log(x), ln(x), log_a(x)
		三角関数			sin(x), cos(x), tan(x)
		逆三角関数			sin⁻¹(x), cos⁻¹(x), tan⁻¹(x)
		双曲線関数			sinh(x), cosh(x), tanh(x)
特殊関数
		ガンマ関数			Γ(x)
		ベータ関数			Β(x, y)
		誤差関数			erf(x)
		テータ関数
		ゼータ関数			ζ(x)
		マチウ関数
* 代表的な関数とその具体例の一覧表を掲げる^[13]^[19]。全てのものを網羅しているわけではないことに注意されたい。「関数一覧」も参照

式によって函数を定義する場合、それらの式が持つ性質・特性によって函数を分類することもしばしば行われる

二次関数は $f(x)=ax^{2}+bx+c$ の形（ただし $a, b, c$ は定数）と書ける函数を言う。
より一般に、多項式函数は加法・減法・乗法と非負整数冪乗のみを含む式で定義することができる函数である。例えば $f(x)=x^{3}-3x-1$ や $f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1$ など。
有理関数は多項式函数と同じ条件からさらに除法を許すようなものである。例えば ${\textstyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}}}$ や ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}}$ など。
代数関数はさらに冪根や多項式の根をとる操作が許される。
上記をすべて含む初等関数^{[注釈 4]}には、さらに対数や指数関数などが含まれる。

逆函数や陰伏函数として定める

函数 $f\colon X\to Y$ が全単射とは、 $Y$ の各元 $y$ に対し、 $X$ の元 $x$ がちょうど一つ（少なくとも一つ、かつ、高々一つ）存在して $y = f (x)$ と書けることであった。この場合、 $f$ の逆函数 ${\textstyle f^{-1}\colon Y\to X}$ が、任意の $y \in Y$ を $y = f (x)$ を満たす $x \in X$ に写す函数として定まる。例えば自然対数函数は正の実数全体の成す集合から実数全体の成す集合への全単射であるから、逆を持ち、それは指数函数と呼ばれる実数全体から正の実数全体への函数である。

函数 $f\colon X\to Y$ が全単射でなくとも、適当な部分集合 $E\subseteq X$ および $F\subseteq Y$ を選んで、 $f$ の $E$ への制限が $E$ から $F$ への全単射となり、その意味での逆函数を持つということは起こり得る。逆三角関数はこのような仕方で定義される。

より一般に、ふたつの集合 $X, Y$ の間の二項関係 $R$ が与えられ、 $X$ の部分集合 $E$ は各元 $x \in E$ に対して適当な $y \in Y$ が存在して $x R y$ とできるものとする。どの $x \in E$ に対してそのような $y \in Y$ をひとつ選び出す判定法がわかっているものとすれば、函数 $f\colon E\to Y$ を定義することができ、関係 $R$ から陰伏的に定まるとの意味で陰関数と呼ぶ。^{[注釈 5]}

陰函数定理は点の近傍における陰函数の存在と一意性を保証する緩やかな可微分性条件を提供するものである。

微積分学的な条件によって指定する

適当な函数の原始函数として沢山の函数が定義できる。例えば自然対数函数は逆数函数 $1/ x$ の原始函数で $x = 1$ における値が $0$ となるものとして定義される。誤差関数 $erf$ もこのような方法で定義される函数の例である。

より一般に、ほとんどの特殊関数を含めた多くの函数は微分方程式の解として定義される。最も単純な例として、指数函数はその微分が自分自身に等しいような函数の中で $x = 0$ における値が $1$ となる唯一の函数として定義することができる。

冪級数はその収束域を定義域として函数を定義することに利用できる。例えば指数函数は $e^{x}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}}$ と定義できる。しかし、冪級数の係数列は極めて任意に決めることができるから、「収束冪級数の和として書ける函数」は大抵既にどこか別の場所で定義されていたり、係数列もその別な定義に基づく何らかの計算できまるなどしているものである。冪級数はそのような函数の定義域を拡大することに利用できる。典型的には、実変数の函数が適当な区間上でテイラー展開の和と等しいとき、その級数を用いて直ちに適当な複素領域（つまり、級数の収束円板）上の複素変数函数に定義域を拡大することができる。これはさらに解析接続を用いて複素平面上のさらに大きな領域へ拡大できる。この方法は、複素変数の指数函数・対数函数及び三角函数の定義に一般的に用いられる方法である。

漸化式を与える

詳細は「漸化式」を参照

定義域が非負整数であるような函数（つまり数列）はしばしば漸化式によって定義される。

基本的な例として、非負整数にその階乗を対応させる函数 $n\mapsto n!$ は漸化式 ${\textstyle n!=n(n-1)!\quad (n>0)}$ と初期条件 $0!=1$ によって決まる。

脚注

注釈

^ 但し、1958年の中学校学習指導要領では用語として「一次関数(一次函(かん)数)」と併記しており、「関数」のみになるのは1969年の中学校学習指導要領である。
^ 数学の多くの文脈では函数 (function) と写像 (map) は同じ意味で用いられる。^[15]
^ 例えば Serge Lang^[16] などは "function" を終域が数の集合 (すなわち実数体 $R$ や複素数体 $C$ などの体の部分集合) となる写像を指す場合に限り、より一般の場合には "mapping" を用いている
^ ここでいう「初等的」は必ずしも日常会話的な意味で初等的とは限らない。初等的な数学において遭遇するほとんどの函数は初等函数だが、例えば高次多項式の根を含むなどして日常的な意味で初等的ではないような初等函数も存在する。
^ 例えば単位円の方程式 $x^{2}+y^{2}=1$ は実数全体の成す集合上の二項関係を定める。 $-1 < x < 1$ ならば $y$ として二つの値が可能で、一方は正他方は負である。 $x = \pm 1$ のときは二つの値はともに $0$ になる。それ以外では $y$ は値を持たない。このことから、この方程式は $[-1, 1]$ を定義域とするふたつの陰函数を定義し、それらの値域はそれぞれ $[0, +\infty)$ および $(-\infty, 0]$ である。この例では方程式は $y$ について解くことができて $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$ と陽に書けるが、より複雑な例ではこのようなことが不可能なものも出てくる。例えば方程式 $y^{5}+x+1=0$ は $y$ を超冪根と呼ばれる $x$ の陰函数としてさだめる（定義域・値域ともに $R$ ）。超冪根は四則演算と冪根をとる操作によって表すことができない。
^ 但し、1958年の中学校学習指導要領では用語として「一次関数(一次函(かん)数)」と併記しており、「関数」のみになるのは1969年の中学校学習指導要領である。

出典

^ 馮, 立升「『代微積拾級』の日本への伝播と影響について」『数学史研究』第162号、日本数学史学会、1999年9月、15–28、doi:10.11501/3202759、ISSN 0386-9555、2022年11月2日閲覧。
^ ^a ^b 公田藏「近代日本における, 函数の概念とそれに関連したことがらの受容と普及 (数学史の研究)」『数理解析研究所講究録』第1787巻、京都大学数理解析研究所、2012年4月、265-279頁、CRID 1050282810743929856、hdl:2433/172764、ISSN 1880-2818。
^ ^a ^b 片野, 善一郎『数学用語の由来』明治図書出版、1988年。ISBN 4-18-543002-7。
^ ^a ^b ^c ^d 片野, 善一郎『数学用語と記号ものがたり』裳華房、2003年。ISBN 4-7853-1533-4。
^ 「譯語會記事」『東京數學會社雑誌』第62号、數學會社假事務所、9頁、doi:10.11429/sugakukaisya1877.1884.62_8。
^ 「譯語會記事」『東京數學會社雑誌』第64号、數學會社假事務所、14頁、doi:10.11429/sugakukaisya1877.1884.64_14。
^ 菊池大麓「雜録」『東京數學會社雑誌』第61号、數學會社假事務所、1頁、doi:10.11429/sugakukaisya1877.1883.61_1。菊池大麓「雜録」『東京數學會社雑誌』第63号、數學會社假事務所、1頁、doi:10.11429/sugakukaisya1877.1884.63_1。
^ ^a ^b この経緯については、島田茂 (1981)「学校数学での用語と記号」福原満州雄他『数学と日本語』共立出版 ISBN 4-320-01315-8 pp.135-169 に詳しい。
^ ^a ^b 一松信 (1999)「当用漢字による書き替え」数学セミナー編集部編『数学の言葉づかい100』日本評論社 ISBN 4-535-60613-7 p.5
^ ^a ^b ^c 小松勇作「関数」『数学100の慣用語』数学セミナー1985 年9月増刊、数学セミナー編集部編『数学の言葉づかい100』日本評論社 ISBN 4-535-60613-7 p. 58 に再録
^ 志賀浩二『数学が生まれる物語／第4週座標とグラフ』岩波書店、70頁（1992年）
^ (美国) 羅密士撰『代微積拾級』巻十、(英国) 偉烈亜力口訳、(清) 李善蘭筆述、咸豊9年、1丁裏頁。東北大学附属図書館林文庫蔵。東北大学和算資料データベースで『代微積拾級』を検索することにより、画像ファイルを見ることができる。
^ ^a ^b 飯島徹穂編著、『数の単語帖』、共立出版、2003年、「関数」より。ISBN 978-4-320-01728-3
^ 遠山啓、『[1]』、岩波書店、〈岩波現代文庫〉、2011年。ISBN 978-4-00-603215-9
^ 松坂 1968, p. 28—「A, B が一般の集合である場合にも、A から B への写像を、A から B への関数（中略）ということがある。」
^ Lang, Serge (1971), Linear Algebra (2nd ed.), Addison-Wesley, p. 83
^ Letourneau, Mary; Sharp, Jennifer Wright (2017-10), AMS Style Guide, American Mathematical Society , p. 98, §13.3. Standard abbreviated forms of mathematical expressions and functions.
^ Ron Larson, Bruce H. Edwards (2010), Calculus of a Single Variable, Cengage Learning, p. 19, ISBN 978-0-538-73552-0
^ 日本数学会編、『岩波数学辞典第4版』、岩波書店、2007年、項目「特殊関数」より。ISBN 978-4-00-080309-0 C3541