一般化されたストークスの定理一般化されたストークスの定理の概要

一般化されたストークスの定理によると、向き付け可能な多様体 $Ω$ の境界 $\partialΩ$ 上の微分形式 $ω$ の積分は $Ω$ 全体にわたるその外微分 $dω$ の積分に等しい。すなわち

\int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega

が成り立つ。

シンボリックに、この積分を積分領域と微分形式の内積 $(\cdot, \cdot)$ のように考えると、

(\omega ,\partial \Omega )=(\mathrm {d} \omega ,\Omega )

と書ける。すなわち一般化されたストークスの定理は、領域の境界を取り出す演算子 $\partial$ が外微分 $d$ の随伴作用素になっていることを主張しているということもできる^[3]。

ヴィト・ヴォルテラ、エドゥアール・グルサ（英語版）、アンリ・ポアンカレによるベクトル解析の定理の一般化に関する初期の研究に続き、一般化されたストークスの定理の現代的な定式化は1945年にエリ・カルタンによってなされた^[4]^[5]^[6]。

ストークスの定理のこの現代的な形式は、ケルビン卿が1850年7月2日付けの手紙でジョージ・ストークスに伝えた古典的な結果の一般化である^[7]^[8]^[9]。ストークスはこの定理を1854年のスミス賞試験の質問として設定し、その結果、彼の名前が付けられた。最初に出版されたのは1861年にヘルマン・ハンケルによってである^[9]^[10]。この古典的なケースは、3次元ユークリッド空間における曲面上のベクトル場 $F$ の回転の面積分（つまりcurl $F$ の流束）を、曲面の境界上のベクトル場の線積分（周回積分）に関連付けている。

ベクトル解析における発散定理やグリーンの定理のような微分積分学の基本定理の古典的な一般化は、微分形式（古典的な定理ごとに異なる）を標準的な方法でベクトル場とみなした場合の、上記の一般的な定理の特殊なケースである。

脚注

^ 数学者にとってこの事実は既知であるため、周回積分の円の記号は冗長とされしばしば省略される。しかし、熱力学では $\oint _{W}\mathrm {d} _{\text{total}}U$ がよく現れる（ここで全微分を外微分と混同しないこと）に注意する。積分経路 $W$ は高次元多様体上の1次元の閉曲線である。つまり、熱力学での応用では、 $U$ はサンプルの温度 $α 1 := T$ 、体積 $α 2 := V$ 、および電気分極 $α 3 := P$ の関数であり、 $\mathrm {d} _{\text{total}}U=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial U}{\partial \alpha _{i}}}\mathrm {d} \alpha _{i}$ であり、円の記号は必要である。たとえば「積分」仮定の異なる「微分」結果を考慮する場合
$\oint _{W}\mathrm {d} _{\text{total}}U{\stackrel {!}{=}}0$
^ $γ$ と $Γ$ はどちらも閉曲線だが、 $Γ$ は必ずしもジョルダン曲線とは限らない。