一般化されたストークスの定理 境界のある滑らかな多様体に対しての定式化

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一般化されたストークスの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/01 07:19 UTC 版)

境界のある滑らかな多様体に対しての定式化

Ωを向き付けられた滑らかな境界を持つ n 次元多様体、α を Ω 上のコンパクトな台を持つ滑らかな n 形式とする。 まず、α が単一の向き付けられた座標チャート {U, φ} の領域でコンパクトな台を持つと仮定する。 この場合、Ω 上の α の積分を、αから Rⁿへの引き戻しを介して

$\int _{\Omega }\alpha :=\int _{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^{*}\alpha$

と定義する。

より一般的に Ω 上の α の積分を定義する。{ψ_i} を（一貫して方向付けられた）座標チャートの局所有限族被覆 {U_i, φ_i} に関連付けられた1の分割とし、積分を

$\int _{\Omega }\alpha :=\sum _{i}\int _{U_{i}}\psi _{i}\alpha$

で定義する。ここで総和の各項は上述のように Rⁿ に引き戻すことによって評価される。この量は明確に定義されている。つまり座標チャートの選択や1の分割には依存しない。

一般化されたストークスの定理は次のようになる。

定理 (ストークス・カルタン) ― ω を、滑らかな境界付き n 次元多様体 Ω上の、コンパクトな台を持つ滑らかな (n-1) 形式であるとする。∂Ω を Ω から誘導された向きを持つ Ω の境界とする。$i:\partial \Omega \hookrightarrow \Omega$ は包含写像とする。このとき、

$$\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega =\int _{\partial \Omega }i^{*}\omega .$$

包含写像による微分形式の引き戻しは単純にその領域への制限：$i^{*}\omega =\omega |_{\partial \Omega }$ であるため、通常 ${\textstyle \int _{\partial \Omega }i^{*}\omega }$ は ${\textstyle \int _{\partial \Omega }\omega }$ と省略される。ここで d は外微分であり、多様体の構造のみを使用して定義される。(n-1) 次元多様体 ∂Ω が境界を持たないことを強調するために右辺は ${\textstyle \oint _{\partial \Omega }\omega }$ と書かれることもある（この事実はストークスの定理を含意する。これは、与えられた滑らかな n 次元多様体 Ω に対して定理を2回適用すると、任意の (n-2) 形式 ω に対して ${\textstyle \int _{\partial (\partial \Omega )}\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} (\mathrm {d} \omega )=0}$となり、これは ∂(∂Ω) = ∅ を意味するからである）。応用において、右辺は積分法則を定式化するためによく使用され、左辺は等価な微分法則の定式化につながる。

この定理は、Ω がより大きな多様体（多くの場合 R^k）に埋め込まれた、向き付けられた部分多様体の上で ω が定義されている状況でよく使用される。