一般化されたストークスの定理

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/01 07:19 UTC 版)

トポロジーの準備; 鎖を介した積分

$M$ を滑らかな多様体とする。 $M$ の（滑らかな）特異 $k$ -シンプレックスは、 $R k$ の標準単体から $M$ への滑らかな写像で定義される。 $M$ の特異 $k$ 鎖（英語版）の群 $C k (M, Z)$ は、 $M$ の特異な $k$ 単体の集合上の自由アーベル群として定義される。これらの群は、境界写像 $\partial$ とともに鎖複体を定義する。対応するホモロジー（またはコホモロジー）群は、通常の特異ホモロジー群 $H k (M, Z)$ （または特異コホモロジー群 $H k (M, Z)$ ）と同型であり、 $M$ の滑らかな単体ではなく連続な単体を使用して定義される。

一方、外微分 $d$ を接続写像として持つ微分形式は、ド・ラームコホモロジー群 $H k dR (M, R)$ を定義する余鎖複体を形成する。

微分 $k$ 形式は、 $R k$ に引き戻すことにより、自然な方法で $k$ 単体上で積分できる。線形性を使って拡張すると、鎖をまたいで積分できる。これにより、 $k$ 形式の空間から特異な余鎖の $k$ 番目の群 $C k (M, Z)$ 、 $C k (M, Z)$ 上の線形汎関数への線形写像が得られる。言い換えれば、 $k$ 形式 $ω$ は $k$ 鎖上で

I(\omega )(c)=\oint _{c}\omega

で汎関数を定義する。一般化されたストークスの定理によれば、これはド・ラームコホモロジーから実係数の特異ホモロジーへの鎖写像である。外微分 $d$ は微分形式の $\partial$ の双対のように振る舞う。これにより、ド・ラームコホモロジーから特異ホモロジーへの準同型が得られる。微分形式のレベルでは、これは

閉形式、つまり $d ω = 0$ は境界にわたる積分、つまり多様体にわたる $\partial\sum c M c$ 、でゼロとなる
完全形式、つまり $ω = d σ$ は、サイクル全体にわたる積分、つまり境界の合計が空集合になる場合： $\sum c M c = \emptyset$ 、でゼロとなる

を意味する。

ド・ラームの定理は、この準同型が実際には同型であることを示している。したがって、上記の1と2の逆が成り立つ。言い換えると、 ${c i}$ が $k$ 番目のホモロジー群を生成するサイクルである場合、対応する実数 ${a i}$ に対して閉形式 $ω$ が存在し

\oint _{c_{i}}\omega ={a_{i}}

となる。この形式は一意で完全形式である。滑らかな多様体上の一般化されたストークスの定理は、滑らかな多様体の鎖上のストークスの定理から導き出すことができ、その逆も可能である^[11]。正式に述べると、後者は次のように述べている^[12]。

定理 (鎖に対するストークスの定理) ― $c$ を滑らかな多様体 $M$ の滑らかな $k$ 鎖、 $ω$ を $M$ 上の滑らかな $(k -1)$ 形式であるとする。この時次が成り立つ：

\int _{\partial c}\omega =\int _{c}\mathrm {d} \omega .

脚注

^ 数学者にとってこの事実は既知であるため、周回積分の円の記号は冗長とされしばしば省略される。しかし、熱力学では $\oint _{W}\mathrm {d} _{\text{total}}U$ がよく現れる（ここで全微分を外微分と混同しないこと）に注意する。積分経路 $W$ は高次元多様体上の1次元の閉曲線である。つまり、熱力学での応用では、 $U$ はサンプルの温度 $α 1 := T$ 、体積 $α 2 := V$ 、および電気分極 $α 3 := P$ の関数であり、 $\mathrm {d} _{\text{total}}U=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial U}{\partial \alpha _{i}}}\mathrm {d} \alpha _{i}$ であり、円の記号は必要である。たとえば「積分」仮定の異なる「微分」結果を考慮する場合
$\oint _{W}\mathrm {d} _{\text{total}}U{\stackrel {!}{=}}0$
^ $γ$ と $Γ$ はどちらも閉曲線だが、 $Γ$ は必ずしもジョルダン曲線とは限らない。