一般化されたストークスの定理 根本原理

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一般化されたストークスの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/01 07:19 UTC 版)

根本原理

位相幾何学的な議論を単純化するために、d = 2 次元の例を検討することによって根本的な原理を調べてみる。本質的な考え方は左の図で理解できる。この図は、多様体の向き付けられたタイリングで、内部経路が反対向きに横切っていることを示している。したがって、経路積分へのそれらの寄与はペアの経路ごとに互いに打ち消し合い、結果として境界からの寄与のみが残る。したがって、十分に細かいタイリング（また単体でも同様）に対するストークスの定理を証明するだけで十分である。これは通常は難しいことではない。

古典的なベクトル解析の例

γ: [a, b] → R² を区分的に滑らかなジョルダン曲線とする。ジョルダン曲線定理によれば、γ は R² を2つの部分、つまりコンパクトな部分と非コンパクトな部分に分割する。D を γ で囲まれたコンパクトな部分とし、ψ: D → R³ を滑らかな関数、S := ψ(D) とする。Γ を Γ(t) = ψ(γ(t))で定義される空間曲線とし、F を R³ の滑らかなベクトル場とすると、次が成り立つ：

$\oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .$

区分的に滑らかな境界を持つ領域（ここでは Ω ではなく D）。これは角のある多様体であるため、その境界は滑らかな多様体ではない。

上記の定式化は Ω が境界をもつ滑らかな多様体である場合であり、多くの応用では十分ではない。たとえば、右図のように積分領域が2つの x 座標と2つの関数のグラフの間の平面領域として定義されている場合、領域に角があることがある。このような場合、角の点は Ω が境界をもつ滑らかな多様体ではないことを意味し、上記のストークスの定理は適用できない。にもかかわらず、ストークスの定理の結論がまだ真であることを確認することは可能である。これは、Ω とその境界が小さな点の集合（測度0の集合）を除けば適切にふるまうためである。

ラフさを考慮したストークスの定理のバージョンは、ホイットニーによって示された。D が Rⁿ の連結した境界のある開集合であると仮定する。D が次の特性を満たすとき、D を標準ドメインと呼ぶ：∂D の開いた部分集合 P が存在し、∂D の補集合はハウスドルフ (n-1) -測度がゼロである；そして P のすべての点が一般化された法線ベクトルを持つ。これは、ベクトル v(x) が最初の基底ベクトルになるように座標系を選択すると x の開近傍で滑らかな関数 f(x₂, ..., x_n) が存在し、P がグラフ {x₁ = f(x₂, ..., x_n)} であり D が領域 {x₁: x₁ < f(x₂, ..., x_n)} であるようなベクトル v(x) である。ホイットニーは、標準ドメインの境界はゼロハウスドルフ (n-1) -測度の集合と滑らかな (n-1) -多様体の有限和または可算和集合であり、それぞれが片側のみで領域と接すると述べている。次に彼は、D が Rⁿ の標準ドメインである場合、ω は (n-1) 形式であり、連続的で、D ∪ P に制限され、D で滑らかで、P で積分可能であり、dω が D で積分可能であるならば、そのときストークスの定理

$\int _{P}\omega =\int _{D}\mathrm {d} \omega$

が成り立つことを証明した。

ラフな集合の測度論的性質の研究は幾何学的測度論につながる。ストークスの定理のさらに一般的なバージョンがフェデラーとハリソンによって証明されている。