一般化されたストークスの定理

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/01 07:19 UTC 版)

特別な場合

微分形式を使用したストークスの定理の一般的な形式は、特殊な場合よりも強力で使いやすい。従来のバージョンは、微分幾何学の機構なしでデカルト座標を使用して定式化できるため、よりアクセスしやすい。さらに、それらはより古く、その結果、それらの名前はより親しみやすい。従来の形式は、実践的な科学者やエンジニアにはより便利であると見なされることがよくあるが、他の座標系（たとえば球座標や円筒座標などの使い慣れた座標系でさえ）を使用すると、従来の定式化の不自然さが明らかになる。名称の適用方法や二重の定式化の使用にも混乱が生じる可能性がある。

古典的な（ベクトル解析の）場合

詳細は「ストークスの定理」および「ケルビン・ストークスの定理」を参照

ベクトル解析によるストークスの定理の図。 $Σ$ は表面、 $\partialΣ$ はその境界、 $n$ はその法線ベクトル

これは 1形式の（二重化された）(1+1) 次元の場合である（ベクトル場に関するステートメントであるため、二重化されている）。この特殊ケースは多くの大学のベクトル解析入門コースでストークスの定理と呼ばれることが多く、物理学や工学で使用されている。回転定理とも呼ばれる。

古典的なストークスの定理は、3次元ユークリッド空間の曲面 $Σ$ 上のベクトル場の回転の面積分を、その境界上のベクトル場の線積分に関連付ける。これは一般化されたストークスの定理の特殊なケース $(n = 2)$ であり、3次元ユークリッド空間の計量を使用してベクトル場は1形式とみなされる。線積分の経路曲線 $\partialΣ$ は正の方向を向いている必要がある。つまり曲面の法線ベクトル $n$ がこの記事の読者の方を向いている場合 $\partialΣ$ は反時計回りを指す。

この定理の帰結の1つとして、回転がゼロのベクトル場に沿った曲線は閉曲線にすることができないことが言える。定理の公式は次のように書き直すことができる。

定理 ― $F = (P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z))$ が滑らかな表面 $Σ$ を持つ領域で定義され、連続した1次偏導関数を持つと仮定する。そのとき

\iint _{\Sigma }\left[\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\mathrm {d} y\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\mathrm {d} z\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\right]=\oint _{\partial \Sigma }(P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y+R\mathrm {d} z),

ここで $P, Q$ および $R$ は $F$ の成分であり、 $\partialΣ$ は領域 $Σ$ の境界。

グリーンの定理

グリーンの定理は、上で引用した $P, Q$ および $R$ から、両辺の第3項の積分として直ちに示される。

電磁気学における応用

マクスウェル方程式の4本の式のうち2本は3次元ベクトル場の回転を含み、それらの微分形と積分形はストークスの定理の特別な3次元（ベクトル解析）の場合に関連している。境界が移動するケースを回避するように注意する必要があり、時間偏微分はそのようなケースを除外するためにある。移動する境界が含まれる場合、積分と微分の交換により、以下の結果に含まれない境界運動に関連する項が導入される（積分記号の下の微分を参照）。

名称	微分形	積分形 (3次元ストークスの定理と相対論的不変性を使用して、 $\int \partial / \partial t ... \to d / d t \int ...$ )
マクスウェル・ファラデーの式ファラデーの電磁誘導の法則	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	${\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} &=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \\&=-\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \end{aligned}}$ ( $C, S$ は静止している必要はない)
アンペールの法則 (マクスウェルによる拡張)	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	${\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} &=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \\&=\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \end{aligned}}$ ( $C, S$ は静止している必要はない)

発散定理

同様に、発散定理

\int _{\mathrm {Vol} }\nabla \cdot \mathbf {F} \mathrm {d} _{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \operatorname {Vol} }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\Sigma }}

はベクトル場をユークリッド体積形式で縮約することによって得られる $(n -1)$ 形式とみなす場合の特殊ケースである。これの応用は $F = f c$ の場合である。ここで $c$ は任意の定数ベクトル。積の発散を実行すると、

\mathbf {c} \cdot \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\mathrm {d} _{\mathrm {Vol} }=\mathbf {c} \cdot \oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\mathrm {d} {\boldsymbol {\Sigma }}

が得られる。これは任意の $c$ について成り立つため、

\int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\mathrm {d} _{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\mathrm {d} {\boldsymbol {\Sigma }}

が成り立つ。

脚注

^ 数学者にとってこの事実は既知であるため、周回積分の円の記号は冗長とされしばしば省略される。しかし、熱力学では $\oint _{W}\mathrm {d} _{\text{total}}U$ がよく現れる（ここで全微分を外微分と混同しないこと）に注意する。積分経路 $W$ は高次元多様体上の1次元の閉曲線である。つまり、熱力学での応用では、 $U$ はサンプルの温度 $α 1 := T$ 、体積 $α 2 := V$ 、および電気分極 $α 3 := P$ の関数であり、 $\mathrm {d} _{\text{total}}U=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial U}{\partial \alpha _{i}}}\mathrm {d} \alpha _{i}$ であり、円の記号は必要である。たとえば「積分」仮定の異なる「微分」結果を考慮する場合
$\oint _{W}\mathrm {d} _{\text{total}}U{\stackrel {!}{=}}0$
^ $γ$ と $Γ$ はどちらも閉曲線だが、 $Γ$ は必ずしもジョルダン曲線とは限らない。