一般化されたストークスの定理

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/01 07:19 UTC 版)

導入

微分積分学の第二基本定理によると、区間 $[a, b]$ にわたる関数 $f$ の積分は、 $f$ の不定積分 $F$ を見つけることによって次式で計算できる。

\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)

一般化されたストークスの定理は、次の意味でこの定理を一般化したものである。

$F$ を選択すると $d F / d x = f (x)$ になる。微分形式の用語では、これは $f (x) d x$ が0形式（つまり関数） $F$ の外微分である、つまり $d F = f d x$ であることを意味する。一般化されたストークスの定理では $F$ は0形式だけでなく、より高い次数の微分形式 $ω$ に適用される。
閉区間 $[a, b]$ は境界を持つ1次元多様体の簡単な例である。その境界は2つの点 $a$ と $b$ の集合である。区間にわたる $f$ の積分はより高次元の多様体上の積分の形式に一般化することができる。ただし2つの技術的条件が必要である：多様体は向き付け可能であることと、形式はコンパクトな台を持ち積分が明確に定義されること。
2つの点 $a$ と $b$ は閉区間の境界を成す。一般化されたストークスの定理は、境界を持つ向き付けられた多様体 $M$ に適用される。 $M$ の境界 $\partial M$ はそれ自身も多様体であり、 $M$ から自然な向きが誘導される。たとえば、区間の自然な向きは2つの境界点の向きを与える。直感的には、 $a$ と $b$ は区間の反対側の両端にあるため、 $a$ は $b$ とは反対の方向が誘導される。したがって、2つの境界点 $a, b$ で $F$ を「積分」すると、差 $F (b) - F (a)$ となる。

さらに簡単に言えば、点を曲線の境界と、つまり1次元多様体の0次元境界と見なすことができる。したがって、0次元境界 ${a, b}$ での不定積分 $F$ を考慮することにより1次元多様体 $[a, b]$ 上の積分の値 ( $f d x = d F$ ) を求めることができるのと同じように、いくつかの注意事項のもとで微分積分学の基本定理を一般化でき、 $n$ 次元多様体 $Ω$ の $(n - 1)$ 次元境界 $\partialΩ$ での不定積分 $ω$ を考慮することで $Ω$ 上の積分 $dω$ の値を与えることができる。

したがって、基本的な定理は次のように読み替えることができる：

\int _{[a,b]}f(x)\mathrm {d} x=\int _{[a,b]}\mathrm {d} F=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a).

脚注

^ 数学者にとってこの事実は既知であるため、周回積分の円の記号は冗長とされしばしば省略される。しかし、熱力学では $\oint _{W}\mathrm {d} _{\text{total}}U$ がよく現れる（ここで全微分を外微分と混同しないこと）に注意する。積分経路 $W$ は高次元多様体上の1次元の閉曲線である。つまり、熱力学での応用では、 $U$ はサンプルの温度 $α 1 := T$ 、体積 $α 2 := V$ 、および電気分極 $α 3 := P$ の関数であり、 $\mathrm {d} _{\text{total}}U=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial U}{\partial \alpha _{i}}}\mathrm {d} \alpha _{i}$ であり、円の記号は必要である。たとえば「積分」仮定の異なる「微分」結果を考慮する場合
$\oint _{W}\mathrm {d} _{\text{total}}U{\stackrel {!}{=}}0$
^ $γ$ と $Γ$ はどちらも閉曲線だが、 $Γ$ は必ずしもジョルダン曲線とは限らない。