周期環と数論幾何学における比較同型とは? わかりやすく解説

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周期環と数論幾何学における比較同型

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/10/22 23:46 UTC 版)

p進ホッジ理論」の記事における「周期環と数論幾何学における比較同型」の解説

フォンテーヌは、BdR英語版)、Bst英語版)、Bcris(英語版)、BHT英語版)といった GK作用英語版)とある種線形代数構造を持つ周期環と呼ばれる環をつくり、周期環 B と p 進表現 V に対していわゆるデュドネ加群 D B ( V ) = ( B ⊗ Q p V ) G K {\displaystyle D_{B}(V)=(B\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}V)^{G_{K}}} を考えるという pホッジ理論研究手法考案した。デュドネ加群GK 作用持たないが、線型代数構造を B から受け継いでおり、 特に固定体 E := B G K {\displaystyle E:=B^{G_{K}}} 上のベクトル空間になっている。この記号使ってフォンテーヌによる B 許容表現英語版)の理論当てはめることにより、先の p 進表現部分圏定義される。すなわち、* を HTdRstcrisいずれかとすると、圏 Rep∗(K)は周期環 B∗ に対して dim ED B ∗ ( V ) = dim Q p ⁡ V {\displaystyle \dim _{E}D_{B_{\ast }}(V)=\dim _{\mathbf {Q} _{p}}V} が成り立つ、もしくは、同じことであるが、 比較射(英語版) α V : B ∗ ⊗ E D B ∗ ( V ) ⟶ B ∗ ⊗ Q p V {\displaystyle \alpha _{V}:B_{\ast }\otimes _{E}D_{B_{\ast }}(V)\longrightarrow B_{\ast }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}V} が同型写像となるような p 進表現 V 全体からなる圏として定義される。 この定式化周期環という名前は、 数論複素幾何学における比較同型写像関連した研究結果予想起源を持つ: X を複素数体 C 上の固有かつ滑らかなスキームとする。X の C 上の代数的ド・ラームコホモロジー英語版) と X(C)特異コホモロジー の間には古典的な比較同型写像 H d R ∗ ( X / C ) ≅ H ∗ ( X ( C ) , Q ) ⊗ Q C {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/\mathbf {C} )\cong H^{\ast }(X(\mathbf {C} ),\mathbf {Q} )\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {C} } が存在する。この同型写像は、微分形式サイクル沿って積分することで定義される代数的ド・ラーム・コホモロジー特異コホモロジーペアリング英語版)を考えることにより定義される。この積分積分値周期英語版)と呼ばれる複素数であるが、一般に有理数にはならない。これが、比較同型写像定式化特異コホモロジーに C をテンソルすることが必要な理由である。複素数体 C は代数的 ド・ラームコホモロジー特異コホモロジー比較同型必要な全ての周期含んでいるので、そのこと鑑みて C をこの古典的な状況での周期環と呼んでもよいだろう60年代半ばテイトは、K 上の固有かつ滑らかなスキーム X に対して同様の同型写像代数的ド・ラーム・コホモロジーと p 進エタール・コホモロジーの間に存在するだろうと予想した(ホッジ・テイト予想英語版)、CHT とも表記される)。予想述べるためにいくつか記号導入するCK を K の代数的閉包完備化英語版)、CK(i) を CKGK を g·z = χ(g)ig·z で作用させたもの(χ は p 進円分指標英語版)、i は整数)、そして B H T := ⊕ i ∈ Z C K ( i ) {\displaystyle B_{\mathrm {HT} }:=\oplus _{i\in \mathbf {Z} }\mathbf {C} _{K}(i)} と置く。テイトの予想とは、GK 作用を持つ次数付きベクトル空間としての同型 B H TK g r H d R ∗ ( X / K ) ≅ B H TQ p H e ´ t ∗ ( X × K K ¯ , Q p ) {\displaystyle B_{\mathrm {HT} }\otimes _{K}\mathrm {gr} H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {HT} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})} が存在し、かつこれは関手間の同型射となるであろうというものであるg r H d R ∗ {\displaystyle \mathrm {gr} H_{\mathrm {dR} }^{\ast }} はド・ラーム・コホモロジーのホッジ・フィルトレーション(英語版)に随伴する次数付き環)。テイトはじめとする多く数学者貢献ののち、この予想ゲルト・ファルティングスによって80年代後半証明された。 p 進体 K 上の良い還元を持つアーベル多様体 X に対してアレクサンドル・グロタンディークテイト定理次のように再定式化した。すなわち、X の特殊ファイバークリスタリン・コホモロジー H1(X/W(k)) ⊗ Qpフロベニウス自己準同型作用と(K をテンソルしたときの)ホッジ・フィルトレーション付き)と、 p 進エタール・コホモロジー H1(X,Qp) (K のガロア群作用付き)は、同じだけの情報を持つ、と。この2つコホモロジーは X の p 可除群英語版)を同種除いて決定するだけの情報持っているグロタンディークは p 進体上の良い還元を持つ全ての代数多様体に対して p 進エタール・コホモロジーからクリスタリン・コホモロジーを得る直接的な方法と、その逆の方法があるはずだと予想したグロタンディーク予想したこの関係は神秘関手ミステリアス関手とも呼ばれる)として知られるようになった。 ホッジ・テイト予想を、ド・ラーム・コホモロジー随伴する次数つきの対象からド・ラーム・コホモロジーそのもの対す予想改善するために、フォンテーヌフィルターつき(英語版) の環 BdR であって随伴する次数つき代数BHT となるものを作り出した。そして、K 上の固有かつ滑らかなスキーム X に対してGK 作用フィルター付きベクトル空間としての同型 B d RK H d R ∗ ( X / K ) ≅ B d RQ p H e ´ t ∗ ( X × K K ¯ , Q p ) {\displaystyle B_{\mathrm {dR} }\otimes _{K}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {dR} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})} が存在するだろうと予想した。この予想CdR呼ばれている。複素数体上における特異コホモロジー比較同型照らし合わせると、BdR代数的ド・ラーム・コホモロジーと p 進エタール・コホモロジー比較に必要とされる全ての(p 進)周期含んでいる環だと思うことができる。これが BdR が p 進周期の環と呼ばれる所以である。 同様にグロタンディーク神秘関手説明する予想定式化するために、フォンテーヌGK 作用と"フロベニウス" φ を持ち係数K0 から K に拡大するフィルトレーションを持つ環 Bcris を作り出した。そして、 K 上の良い還元をもつ固有かつ滑らかなスキーム X に対して、φ と GK作用係数を K に拡大したときのフィルトレーション付きベクトル空間としての同型 B c r i s ⊗ K 0 H d R ∗ ( X / K ) ≅ B c r i s ⊗ Q p H e ´ t ∗ ( X × K K ¯ , Q p ) {\displaystyle B_{\mathrm {cris} }\otimes _{K_{0}}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {cris} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})} が存在するだろうと予想した。ここで、 H d R ∗ ( X / K ) {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)} にはクリスタリン・コホモロジーとの比較使って φ 作用を持つ K0 ベクトル空間としての構造をいれている。この予想は Ccris と呼ばれる予想 CdR予想 Ccris はファルティングスによって証明された。 X を K 上の良い還元をもつ)固有かつ滑らかなスキームとし、V をその i 次の p 進エタール・コホモロジー群から得られる p 進ガロア表現とすると、これら2つ予想前述の B∗ 許容表現考え方あてはめることにより、 D B ∗ ( V ) = H d R i ( X / K ) {\displaystyle D_{B_{\ast }}(V)=H_{\mathrm {dR} }^{i}(X/K)} が成り立つことが分かる。このことから、デュドネ加群とは V に関係のある他のコホモロジーだという見方もできる。 80年代後半フォンテーヌとウーヴェ・ヤンセンは X が準安定還元英語版)を持つ場合比較同型について予想立てた。この予想Cst呼ばれている。予想の定式化のために、フォンテーヌは、環 Bst であってGK と"フロベニウス" φ が作用し、(p 進対数英語版)の延長一つ固定し、さらに)係数K0 から K に拡大するフィルトレーション持ち、そして"モノドロミー作用素" N を持つものを作り出した準安定還元をもつ X のド・ラーム・コホモロジーには、兵藤治により創始されたログ・クリスタリン・コホモロジー(英語版)との比較使って φ の作用モノドロミー作用素を定義できる予想 Cst は、φ 作用GK 作用、K に係数拡大したときのフィルトレーション、そしてモノドロミー作用素 N を持つベクトル空間としての同型 B s tK 0 H d R ∗ ( X / K ) ≅ B s tQ p H e ´ t ∗ ( X × K K ¯ , Q p ) {\displaystyle B_{\mathrm {st} }\otimes _{K_{0}}H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {st} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})} が成り立つだろうというものである。この予想90年代後半辻雄によって証明された。

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