モノドロミー作用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/30 08:01 UTC 版)
詳細は「モノドロミー」を参照 再び、p : C → X を被覆写像とし、C （と、従って X も）連結で局所弧状連結であるとする。x が X の点で c が x 上のファイバーに属し（つまり、p(c) = x）、γ : [0, 1] → X が γ(0) = γ(1) = x である経路とすると、この経路は出発点を c にもつ C の一意の経路へ持ち上げることができる。この持ち上げられた経路の終点は、c である必要はないが、x 上のファイバーの中に属す必要がある。この終点は基本群 π1(X, x) の中の γ のクラスにのみ依存することが判明している。この形で、x 上のファイバーに π1(X, x) の右からの群作用を得る。これはモノドロミー作用(monodromy action)として知られている。 ファイバー上には 2つの作用が存在し、x : Aut(p) は左側より作用し、π1(X, x) は右側より作用する。これらの 2つの作用は次の意味で整合性を持っている。Aut(p) の中の全ての f と p−1(x) の中の全ての c と、π1(X, x)の中の全ての γ に対して、 f ⋅ ( c ⋅ γ ) = ( f ⋅ c ) ⋅ γ {\displaystyle f\cdot (c\cdot \gamma )=(f\cdot c)\cdot \gamma } となる。 p が普遍被覆であれば、Aut(p) は自然に π1(X, x) の双対(dual)群と同一視できるので、π1(X, x) の双対群の作用は、x 上のファイバー上への Aut(p) の作用に一致する。Aut(p) と π1(X, x) とは、この場合は自然に同型となる（群はいつも自然に g ↦ g−1) を通して、双対と同型となる）。 p が正規被覆であれば、Aut(p) は自然に π1(X, x) の商に同型である。 一般に、（適切な空間に対しては、） Aut(p) は、p*(π1(C, c)) 上で π1(X, x) の中で p*(π1(C, c)) の正規化による商と、自然に同型となり、そこでは p(c) = x となる。
※この「モノドロミー作用」の解説は、「被覆空間」の解説の一部です。
「モノドロミー作用」を含む「被覆空間」の記事については、「被覆空間」の概要を参照ください。
- モノドロミー作用のページへのリンク
