予想の定式化とは? わかりやすく解説

予想の定式化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/02/01 20:52 UTC 版)

ヤコビアン予想」の記事における「予想の定式化」の解説

多変数の連鎖律より、もし F が多項式(であるような)逆関数 G: kNkN を持つならば、JF逆数多項式表され、したがってゼロ定数である。ヤコビアン予想は下述のように部分的な逆の成立述べるものであるヤコビアン予想: もし JF が非ゼロ定数で k が標数 0 を持つならば、F は逆関数 G: kNkN持ち、G は正則(各成分多項式)である。 van den Essen (1997)によれば、2変数かつ整数係数という限定され場合について、1939年Kellerによって初め予想された。(これは証明された。 § 諸結果見よ。) k が正標数 p を持つヤコビアン予想明らかな類似物は1変数であってさえ成立しない。(正標数の)体の標数素数なければならないから、よって少なくとも 2 以上である。多項式 x − xp微分 1 − px xp−2持ち、これは(px が 0 ゆえ)1 であるが、逆関数持たないしかしながら、Adjamagbo (1995)は、p が体の拡大 k(X) / k(F) の次数割り切らないという仮定追加することで、ヤコビアン予想標数 p > 0 に拡張することを提案している。 JF ≠ 0 という条件多変数微分積分学における逆関数定理関係している。実際滑らかな関数(もちろんとくに多項式)について、JF が非ゼロとなる任意の点で、F の滑らかな局所逆関数存在する例えば、写像 x → x + x3 は滑らかな大域的逆関数を持つけれども、それは多項式ではない。

※この「予想の定式化」の解説は、「ヤコビアン予想」の解説の一部です。
「予想の定式化」を含む「ヤコビアン予想」の記事については、「ヤコビアン予想」の概要を参照ください。

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