予想の内容
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オイラーはフェルマーの最終定理の n = 3 のとき、すなわち x3 + y3 = z3 を満たす自然数の解 (x, y, z) は存在しないことを証明した。ここから、フェルマーの最終定理を拡張して、 x4 + y4 + z4 = w4 を満たす自然数の解 (x, y, z, w) は存在しない、と予想した。 同様に x5 + y5 + z5 + w5 = v5 x6 + y6 + z6 + w6 + v6 = u6 を満たす自然数の解も存在しない、とした。 すなわち、n > 3 とすると、n − 1 個の n 乗数の和を1個の n 乗数で表すことはできないということを示唆した。これが、オイラー予想である。
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予想の内容
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「ランダー・パーキン・セルフリッジ予想」の記事における「予想の内容」の解説
1967年にL. J. Lander、T. R. Parkin、John Selfridgeの3人が提唱した予想は、 ∑ i = 1 n a i k = ∑ j = 1 m b j k {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}} が自然数ai ≠ bj （ 1 ≤ i ≤ n 、1 ≤ j ≤ m）に対して成立する時、 m+n ≥ kとなる。」である。この同じ次数の等式は、 (k, m, n)と略記される。 m = n = k/2 である比較的小さな例には、 59 4 + 158 4 = 133 4 + 134 4 {\displaystyle 59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}} や 3 6 + 19 6 + 22 6 = 10 6 + 15 6 + 23 6 {\displaystyle 3^{6}+19^{6}+22^{6}=10^{6}+15^{6}+23^{6}} （1934年にK. Subba Rao が発見）がある（一般化タクシー数も参照）。 この予想は m = 1 と言う特殊な場合において、 ∑ i = 1 n a i k = b k {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}} が成立するならば、n ≥ k−1であることを示す。 m = 1 と言う特殊な場合においても、 1つ制約を緩めた n ≤ k に対してはいくつも解が知られている。例えば、 k = 3 33 + 43 + 53 = 63 k = 4 958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814 (Roger Frye, 1988) 304 + 1204 + 2724 + 3154 = 3534 (R. Norrie, 1911。最小の解) k = 5 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 (Lander, Parkin, 1966) 75 + 435 + 575 + 805 + 1005 = 1075 (Sastry, 1934, 3番目に小さい解である) k = 6 未発見(2002年に、730000までには解がないことが示された。) k = 7 1277 + 2587 + 2667 + 4137 + 4307 + 4397 + 5257 = 5687 (M. Dodrill, 1999) k = 8 908 + 2238 + 4788 + 5248 + 7488 + 10888 + 11908 + 13248 = 14098 (Scott Chase, 2000) k ≥ 9 未発見
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