カタラン予想

ウィキペディア

カタラン予想

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/16 17:58 UTC 版)

カタラン予想（カタランよそう、英: Catalan's conjecture）とは、1844年にベルギー人の数学者・ウジェーヌ・シャルル・カタランが提示した予想である。2002年にプレダ・ミハイレスクによりその完全な証明が行われた。2005年に、自身で証明を簡素化した。

予想の内容

次の不定方程式について、

x^a − y^b = 1

x, a, y, b > 1

上記を満たす自然数解の組み合わせは

x = 3, a = 2, y = 2, b = 3

だけであるというものである。

歴史

この問題の歴史は、少なくともゲルソニデスにまでさかのぼる。ゲルソニデスは1343年に、この予想の特殊なケースとして (x, y) が (2, 3) または (3, 2) の場合を証明した。1850年にヴィクトル・アメデ・レベスグが b =2 の場合を扱ったのが、カタランが予想を立ててから最初の重要な進歩であった。

1976年、 ロバート・タイデマンは超越数論のベイカーの方法を適用して a, b の境界を定め、 x, y を a, b で制限する既存の結果を用いて、 x, y, a, b の有効な上限を与えた。ミシェル・ランゲビンはこの上限を $\exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}$

ピライの予想（英: Pillai's conjecture）は、累乗数（オンライン整数列大辞典の数列 A001597）の一般的な違いに関するものである。これは、スバッヤ・ピライが最初に提示した未解決問題であり、累乗数の列の差は無限大になる傾向があるという予想である。この予想は、各正の整数が累乗数の差として有限回しか現れないと言い換えられる。より一般に、1931年に、ピライは、固定された正の整数 A, B, C に対して、方程式 $Ax^{n}-By^{m}=C$

国立図書館

• フランス
• BnF data
• ドイツ

その他

• IdRef