一般的定義とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

一般的定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/16 04:43 UTC 版)

「独立成分分析」の記事における「一般的定義」の解説

データは確率変数ベクトル x = ( x 1 , … , x m ) {\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{m})} と成分の確率変数ベクトル s = ( s 1 , … , s n ) {\displaystyle s=(s_{1},\ldots ,s_{n})} で表される。すべきことは、線形な統計的変換 s = W x {\displaystyle s=Wx} を使って、観測データ x {\displaystyle x} を独立成分 s {\displaystyle s} に変換することである（独立性は関数 F ( s 1 , … , s n ) {\displaystyle F(s_{1},\ldots ,s_{n})} によって表される）。

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一般的定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/11 01:39 UTC 版)

「パフィアン」の記事における「一般的定義」の解説

2n 次の交代行列 A = (aij)1≦i, j≦2n (aij = −aji) に対し、 Pf ⁡ ( A ) = ∑ σ ∈ F 2 n sgn ⁡ ( σ ) a σ ( 1 ) σ ( 2 ) a σ ( 3 ) σ ( 4 ) ⋯ a σ ( 2 n − 1 ) σ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\sum _{\sigma \in F_{2n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}a_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}} で定義される n 次の斉次多項式 Pf (A) を n 次のパフィアンと呼ぶ。但し、F2n は 2n 次の対称群 S2n の部分集合で、 F 2 n = { σ ∈ S 2 n | σ ( 2 i − 1 ) < σ ( 2 i ) ( 1 ≤ i ≤ n ) , σ ( 1 ) < σ ( 3 ) ⋯ < σ ( 2 n − 1 ) } {\displaystyle F_{2n}=\{\sigma \in S_{2n}|\,\sigma (2i-1)<\sigma (2i)\quad (1\leq i\leq n),\,\sigma (1)<\sigma (3)\cdots <\sigma (2n-1)\}} を満たすものとして定義される。現れる項の重複を許すならば、 Pf ⁡ ( A ) = 1 2 n n ! ∑ σ ∈ S 2 n sgn ⁡ ( σ ) a σ ( 1 ) σ ( 2 ) a σ ( 3 ) σ ( 4 ) ⋯ a σ ( 2 n − 1 ) σ ( 2 n ) = 1 n ! ∑ σ ∈ F 2 n ′ sgn ⁡ ( σ ) a σ ( 1 ) σ ( 2 ) a σ ( 3 ) σ ( 4 ) ⋯ a σ ( 2 n − 1 ) σ ( 2 n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Pf} (A)&={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}a_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}\\&={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in F_{2n}'}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}a_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}\end{aligned}}} という表示も可能である。但し、 F 2 n ′ = { σ ∈ S 2 n | σ ( 2 i − 1 ) < σ ( 2 i ) ( i = 1 , ⋯ , n ) } {\displaystyle F_{2n}'=\{\sigma \in S_{2n}|\,\sigma (2i-1)<\sigma (2i)\quad (i=1,\cdots ,n)\}} である。

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一般的定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 01:25 UTC 版)

「D-加群」の記事における「一般的定義」の解説

上で述べたように、ワイル代数上の加群は、アフィン空間上の D-加群に対応する。一般の多様体 X の DX に対しては有効ではないベルンシュタインのフィルトレーションは、微分作用素の階数により定義される DX 上の階数フィルトレーション(order filtration)のおかげで、定義を任意のアフィンで滑らかな多様体 X へと一般化する。付随する次数付き環 gr DX は余接バンドル T∗X 上の正則函数により与えられる。特性多様体（英語版）(characteristic variety)は、再び M を (DX) の階数フィルトレーションに関して）適切なフィルトレーションを持っているとしたとき、gr M の零化域の根基により切り出される余接バンドルの部分多様体であると定義される。通常のように、アフィン構成は任意の多様体をつなぎ合わせる。ベルンシュタインの不等式は、任意の（滑らかな）多様体 X に対して連続的に成り立つ。上界は、gr DX 上の余接バンドルの項での解釈の直接的な結果であることに対し、下界はより微妙な問題を含んでいる。

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一般的定義

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/08 16:13 UTC 版)

「モナド (超準解析)」の記事における「一般的定義」の解説

X {\displaystyle X} を内的集合、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を X {\displaystyle X} 上の（外的であってもよい）フィルターとする。このとき μ ( F ) = ⋂ A ∈ F A {\displaystyle \mu ({\mathcal {F}})=\bigcap _{A\in {\mathcal {F}}}A} で定まる X {\displaystyle X} の部分集合を F {\displaystyle {\mathcal {F}}} のモナド、単子、ハロー（ヘイロー）などと呼ぶ。ここでハローは暈を意味する英語の借用であり、後述する例において点の周りに広がる無限小領域の様子を表している。 μ {\displaystyle \mu } の代わりに m o n {\displaystyle \mathrm {mon} } や m o n a d {\displaystyle \mathrm {monad} } などの記号を用いることもある。一般に超準的対象からなる集合がモナドとして書けるとき、その集合はモナディック（monadic）、ハリック（halic）、 Π 1 s t {\displaystyle \Pi _{1}^{\mathrm {st} }} などと言われる。