具体的な表式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/08 08:16 UTC 版)
「並進演算子 (量子力学)」の記事における「具体的な表式」の解説
１次元の場合を考える。上記の一般的定義によると、演算子 p ^ x {\displaystyle {\hat {p}}_{x}} が量子状態に作用したときの結果は、状態を x 方向に無限小並進させたときの状態変化の割合に iħ を掛けたものになる。たとえばもし状態が x 方向に並進させたとき全く変化しなければ、運動量の x 成分は0である。 波動関数 ψ ( x ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}})} で表される１つの粒子の場合、^p はよりはっきりとした便利な形で書ける。 p ^ ψ ( x ) = i ℏ lim a → 0 T ^ ( a ) ψ ( x ) − ψ ( x ) a = i ℏ lim a → 0 ψ ( x − a ) − ψ ( x ) a = − i ℏ ∂ ∂ x ψ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}\psi (x)&=i\hbar \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {{\hat {T}}(a)\psi (x)-\psi (x)}{a}}\\&=i\hbar \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {\psi (x-a)-\psi (x)}{a}}\\&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x)\end{aligned}}} また３次元では、 p ^ = − i ℏ ∇ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {p}}}=-i\hbar \nabla } のように、位置空間の波動関数に作用する演算子として書ける。これは ^p のよく知られた量子力学的な表現だが、ここではより基本的な出発点から導出した。
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具体的な表式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/12 17:55 UTC 版)
球対称なポテンシャル中での一電子に関する、スピン軌道相互作用 HSO は、 H S O = V ( r ) ( l ⋅ s ) {\displaystyle H_{\rm {SO}}=V(r)(\mathbf {l} \cdot \mathbf {s} )} V ( r ) = − ( g − 1 ) ( e ℏ 2 2 m 2 c 2 ) ( 1 r d ϕ ( r ) d r ) {\displaystyle V(r)=-(g-1)\left({e\hbar ^{2} \over {2m^{2}c^{2}}}\right)\left({1 \over r}{d\phi (r) \over {dr}}\right)} l は軌道角運動量、s はスピン角運動量（共に、 ℏ {\displaystyle \hbar } を単位とする）、 ℏ = h / 2 π {\displaystyle \hbar =h/2\pi } で、h はプランク定数、e は素電荷、m は電子の質量、r は電子の位置座標、c は光速、g は g因子（真空中の自由電子の場合、g = 2）である。φ は球対称場での電場（E(r) とする）に対するスカラーポテンシャルで、 E ( r ) = − g r a d ϕ ( r ) = − r ( 1 r d ϕ ( r ) d r ) {\displaystyle \mathbf {E} (r)=-\mathrm {grad} \,\phi (r)=-\mathbf {r} \left({1 \over r}{d\phi (r) \over {dr}}\right)} である。 ポテンシャルが非球対称の場合は、 H S O = ( g − 1 ) ( e ℏ 2 m c 2 ) [ E ( r ) × v ] ⋅ s {\displaystyle H_{\rm {SO}}=(g-1)\left({e\hbar \over {2mc^{2}}}\right)[E(\mathbf {r} )\times \mathbf {v} ]\cdot \mathbf {s} } となる。v は電子の速度、E(r) は球対称でない電場。 非相対論的なシュレーディンガー方程式に対し、最も影響の大きい相対論効果はスピン軌道相互作用の項なので、これを摂動項としてシュレーディンガー方程式に取り入れて解かれることがある。 （補足）上に挙げた電子以外に、原子核の核子（陽子や中性子）もスピンを持つので（核スピン）、これらに関してのスピン軌道相互作用が存在する。
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具体的な表式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/01 00:14 UTC 版)
「ディラックのデルタ関数」の記事における「具体的な表式」の解説
デルタ関数の具体的な表式としてよく用いられる例を一つあげる。この表式は場の量子論で非常によく利用される。 δ ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e i k x d k {\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikx}dk}
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