集合論の記号
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/05 10:06 UTC 版)
以下の解説において、S, T は任意の集合を、 ∙ {\displaystyle \bullet } は記号の作用素を表す。 記号意味解説 { : } , { ∣ } , { ; } {\displaystyle \{\ :\ \},\ \{\ \mid \ \},\ \{\ ;\ \}} 集合の内包的記法（英語版） { (代表元) : (代表元の満たすべき条件)} のように用いる。例えば {x | x ∈ S, P(x)} は S の元のうち、命題 P(x) が真であるものすべてを集めた集合を意味し、これはまた {x ∈ S|P(x)} のようにもしばしば略記される（「x ∈ S」のような条件が省略されている場合、無制限の内包（英語版）であるか紛れのおそれがないので省略した（英語版）のかは文脈を読むべきである）。 ∈ , ∋ , ∉ , ∌ {\displaystyle \in ,\ \ni ,\ \notin ,\ \not \ni } 集合に対する元の帰属関係 「x∈S」は、x が集合 S の元であることを意味する。「x∉S」は、x∈S の否定、すなわち x が S の元でないことを意味する。 = {\displaystyle =} 集合の一致 「S = T」は集合 S と集合 T が等しいことを示す。 ≠ {\displaystyle \neq } = {\displaystyle =} の否定 「S ≠ T」は集合 S と集合 T が等しくないことを示す。 ⊆ , ⊇ , ⊂ , ⊃ , ⊊ , ⊋ , ⊄ , ⊅ {\displaystyle \subseteq ,\ \supseteq ,\ \subset ,\ \supset ,\ \subsetneq ,\ \supsetneq ,\ \not \subset ,\ \not \supset } 集合の包含関係 「S ⊆ T」は S が T の部分集合であることを意味する。必要に応じて「T ⊇ S」とも書く。他も同じ。⊆ は S と T が等しい場合を含み、真部分集合に対しては ⊊ が用いられる。⊂ は真部分集合のみを指す流儀と、一般の部分集合を指す流儀がある。⊂ が一般の部分集合を表す場合には真部分集合を ⊊ によって表わし、⊂ が真部分集合を表す場合には一般の部分集合を ⊆ によって表わす。∈ と同様、⊄, ⊊ などの記号もある。 集合演算記号意味解説 ∩ {\displaystyle \cap } 共通部分 「S ∩ T」は集合 S と集合 T の共通部分を表す。また ⋂ λ ∈ Λ S λ {\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{\lambda \in \Lambda }S_{\lambda }} は、集合族 (Sλ)λ∈Λ の共通部分を表す。 S := { S λ | λ ∈ Λ } {\displaystyle {\mathfrak {S}}:=\{S_{\lambda }\ |\ \lambda \in \Lambda \}} のとき、上の集合族を ⋂ S {\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathfrak {S}}} と書くことがある。 ∪ {\displaystyle \cup } 和集合 「S ∪ T」は集合 S と集合 T の和集合を表す。また、 ⋃ λ ∈ Λ S λ {\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda }S_{\lambda }} は、集合族 (Sλ)λ∈Λ の和集合を表す。 S {\displaystyle {\mathfrak {S}}} が上欄のものであるとき、上の集合族を ⋃ S {\displaystyle \textstyle \bigcup {\mathfrak {S}}} と書くことがある。 + , ∑ , ∐ , ⨁ {\displaystyle +,\ \textstyle \sum ,\ \coprod ,\ \bigoplus } 直和集合 「S + T」は「S ∪ T」に同じであるが、S ∩ T が空集合であることを暗に述べている。この場合、集合族の和集合は ∑ λ ∈ Λ S λ {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\lambda \in \Lambda }S_{\lambda }} のように記す。 ∖ , − {\displaystyle \setminus ,\ -} 差集合 「S ∖ T」は、集合 S から集合 T を除いた差集合を表す。「S−T」も同じ。 ∙ c , ∁ ∙ {\displaystyle \bullet ^{\mathrm {c} },\ \complement \bullet } 補集合 Sc は集合 S の補集合を表す。c は complement の略である。「 ∁ S {\displaystyle \complement S} 」も同じ。 2 ∙ , P ( ∙ ) , P ( ∙ ) {\displaystyle 2^{\bullet },\ {\mathfrak {P}}(\bullet ),\ {\mathcal {P}}(\bullet )} 冪集合 2S は、S の部分集合をすべて集めた集合を表す。 P ( S ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(S)} とも書く。 ( ∙ , ∙ , … ) {\displaystyle (\bullet ,\bullet ,\dotsc )} 順序対 元の順序付けられた組 × , ∏ {\displaystyle \times ,\ \textstyle \prod } 直積集合 「S × T」は S と T の直積を表す。一般に、集合族 (Sλ)λ∈Λ の直積を ∏ λ ∈ Λ S λ {\displaystyle \textstyle \prod \limits _{\lambda \in \Lambda }S_{\lambda }} のように記す。 ∙ / ∙ {\displaystyle \bullet /\bullet } 商集合 「S/∼」は、集合 S の同値関係 ∼ によって定まる S の商集合を表す。 Map ( ∙ , ∙ ) , ∙ ∙ , F ( ∙ , ∙ ) {\displaystyle \operatorname {Map} (\bullet ,\bullet ),\ \bullet ^{\bullet },\ {\mathcal {F}}(\bullet ,\bullet )} 配置集合 Map(S, T) や TS は S から T への写像をすべて集めた集合を表す。 △ , ⊖ {\displaystyle \triangle ,\ \ominus } 対称差 対称差は、二つの集合に対し、一方には含まれるが他方には含まれない元をすべて集めた集合を表す: P △ Q := ( P ∪ Q ) ∖ ( P ∩ Q ) = ( P ∖ Q ) ∪ ( Q ∖ P ) {\displaystyle P\,\triangle \,Q:=(P\cup Q)\setminus (P\cap Q)=(P\setminus Q)\cup (Q\setminus P)} 写像記号意味解説 f : ∙ → ∙ {\displaystyle f\colon \bullet \to \bullet } 写像 「f: S → T」は、f が S から T への写像であることを示す。 ∙ ↦ ∙ {\displaystyle \bullet \mapsto \bullet } 元の対応 x ↦ f y {\displaystyle x\,{\stackrel {f}{\mapsto }}\,y} は、x を写像 f によって写したものが y であることを意味する。文脈上明らかであれば f の記述は省略される。 ∘ {\displaystyle \circ } 合成写像 「 f ∘ g {\displaystyle f\circ g} 」は写像 g と写像 f の合成を表す。すなわち ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) {\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))} である。 Im , Image , ∙ [ ∙ ] {\displaystyle {\text{Im}},\ {\text{Image}},\ \bullet [\bullet ]} 像 写像 φ に対して、Image φ はその写像の像全体の集合（値域）を表す。写像 φ : X → Y {\displaystyle \varphi \colon X\to Y} に対して φ [ X ] {\displaystyle \varphi [X]} とも書く。 二項関係演算記号意味解説 = {\displaystyle =} 相等 x = y は x と y が等しいことを表す。 ≠ {\displaystyle \neq } 不一致 x ≠ y は x と y が等しくないことを表す。 ∼ , ≃ , ≈ , ≒ , ≓ {\displaystyle \sim ,\simeq ,\approx ,\fallingdotseq ,\risingdotseq } (等号#ほぼ等しいを参照) ほぼ等しい 「x ≒ y」または「x ≈ y」は x と y がほぼ等しいことを表す。記号 ≒ は日本など少数の地域でのみ通用し、≈ の方が標準的である。その他にも ∼, ≃, ≅ などを同様の意味で用いることもある。近似においてどのくらい違いを容認するかは文脈による。多くの場合、誤差解析的な意味で用いられ、ある誤差の見積もりの下で両者が等しいことを示すが、そのほかにも漸近解析においては漸近的に等しいという意味で用いられる。 順序構造記号意味解説<, >大小関係, 順序 「x < y」は x と y の間に何らかの順序が定まっていて、x の方が「先」であることを示す。必要に応じて「y > x」とも書く。 ≤ , ≥ , ≦ , ≧ {\displaystyle \leq ,\ \geq ,\ \leqq ,\ \geqq } 大小関係, 順序 「x ≦ y」とは「x < y または x = y」のことである。「x ≧ y」も同様に定義される。 ( ⋅ , ⋅ ) , ] ⋅ , ⋅ [ {\displaystyle (\cdot ,\cdot ),\ ]\cdot ,\cdot [} 開区間 (a, b) は {x : a < x < b} を表す。 [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} 閉区間 [a, b] は {x : a ≦ x ≦ b} を表す。 ( ⋅ , ⋅ ] , ] ⋅ , ⋅ ] , [ ⋅ , ⋅ ) , [ ⋅ , ⋅ [ {\displaystyle (\cdot ,\cdot ],\ ]\cdot ,\cdot ],\ [\cdot ,\cdot ),\ [\cdot ,\cdot [} 半開区間 (a, b] は {x : a < x ≦ b} を表す sup {\displaystyle \sup } 上限 集合 S に対し、sup S は S の上限を表す。また、写像 f に対し、f (S) の上限を sup x ∈ S f ( x ) {\displaystyle \sup _{x\in S}f(x)} とも書く. これは sup { f ( x ) ; x ∈ S } {\displaystyle \sup\{f(x);\ x\in S\}} の略記である。その他、幾つかの記法のバリエーションがある。 inf {\displaystyle \inf } 下限 上限の対義語で、記法は上限と同様。 max {\displaystyle \max } 最大値 記法は上限と同様 min {\displaystyle \min } 最小値 記法は上限と同様 特定の集合記号意味 ∅ , ∅ {\displaystyle \varnothing ,\emptyset } 空集合 P , P {\displaystyle \mathbf {P} ,\ \mathbb {P} } 素数 (Prime numbers) の全体、射影空間など N , N {\displaystyle \mathbf {N} ,\ \mathbb {N} } 自然数 (Natural numbers) の全体 Z , Z {\displaystyle \mathbf {Z} ,\ \mathbb {Z} } 整数 (独: Zahlen) の全体 Q , Q {\displaystyle \mathbf {Q} ,\ \mathbb {Q} } 有理数 (Rational numbers) の全体 R , R {\displaystyle \mathbf {R} ,\ \mathbb {R} } 実数 (Real numbers) の全体 A , A {\displaystyle \mathbf {A} ,\ \mathbb {A} } 代数的数 (Algebraic numbers) の全体、アフィン空間、アデールなど C , C {\displaystyle \mathbf {C} ,\ \mathbb {C} } 複素数 (Complex numbers) の全体 H , H {\displaystyle \mathbf {H} ,\ \mathbb {H} } 四元数 (Hamilton numbers) の全体 O , O {\displaystyle \mathbf {O} ,\ \mathbb {O} } 八元数 (Octonions) の全体 S , S {\displaystyle \mathbf {S} ,\ \mathbb {S} } 十六元数 (Sedenions) の全体 F q , GF ( q ) {\displaystyle \mathbb {F} _{q},\operatorname {GF} (q)} 位数 q の有限体 Δ X {\displaystyle \Delta _{X}} 対角線集合： Δ X := { ( x , x ) ; x ∈ X } {\displaystyle \Delta _{X}:=\{(x,x);\ x\in X\}} 。 濃度記号意味解説|•|, card, #濃度 |S| は集合 S の濃度を表す。card S や #S も同じ。 ℵ 0 , a , ℶ 0 {\displaystyle \aleph _{0},\ {\mathfrak {a}},\ \beth _{0}} 可算濃度 自然数全体の集合の濃度。これは極小（選択公理を認める場合は最小）の無限濃度である。 ℵ , c , ℶ 1 {\displaystyle \aleph ,\ {\mathfrak {c}},\ \beth _{1}} 連続体濃度 実数全体の集合の濃度。これが可算濃度の次の濃度であるというのが連続体仮説である。
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