集合論的表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 08:17 UTC 版)
詳細は「群の作用」を参照 集合 X 上の群 G の集合論的表現(set-theoretic representation)（群の作用、あるいは置換表現としても知られている）は、G から X から X への函数の集合 で、すべての g1, g2 とすべての X のx に対し、 ρ ( 1 ) [ x ] = x {\displaystyle \rho (1)[x]=x} ρ ( g 1 g 2 ) [ x ] = ρ ( g 1 ) [ ρ ( g 2 ) [ x ] ] . {\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]].} を満たすある XX への函数により与えられる。 群に対してのこの条件と公理は、ρ(g) が G のすべての g に対して全単射（あるいは、置換）であることである。このように、置換表現を G から X の対称群 SX への群準同型として定義することは同値であろう。
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