集合論・測度論

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集合論・測度論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/13 12:00 UTC 版)

「解析学」の記事における「集合論・測度論」の解説

数学の基礎付けにおいて忘れてはならないのは集合論であるが、本格的に導入されたのは19世紀もすでに後半、1874年カントールによるものである。とくにR・ベール、ボレル、ルベーグらの仕事には集合論は欠かせないものであった。ベールは不連続関数を分類し、ルベーグがそれを一般化してオイラーが与えた関数の定義である「解析的」の意味をはじめて明確化した。 更にルベーグはボレルの測度論を一般化しルベーグ測度を導入することによってルベーグ積分論を定式化した。これにより長さ、面積、体積などを完全に一般化することに成功し、これによって複雑な図形、例えば曲線や曲面の長さや面積などをそのような立場から論ずることが可能となった。 更にルベーグ積分論はコルモゴロフによって確率論の厳密化にも用いられ、確率論を現代解析学として扱うことを可能とした。このため純粋数学としての確率論は現代数学では解析学に分類されるわけである。 積分の理論は更に一般化され応用範囲も広まり、例えばウィーナーによりブラウン運動のような複雑な現象ですら数学的に取り扱うことすら可能となった。