双対変換とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

双対変換

双対変換は, 2つの対応する双対空間の間の1対1の変換で, 双対の双対は元に戻るという性質をもつ. もっとも基本となるのは, 点と超平面の間の双対変換である. その変換で代表的なものが, 極変換である. 双対変換により, 点集合の問題と超平面の問題を扱いやすい方で解くことができる. 2次元の場合, 線分を双対変換したものは, 楔型領域になる. ハフ変換, 共役関数の共役変換も双対変換である.

$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_dx_d+a_{d+1}=0\,$

で表される． $d\,$ 次元空間の2次曲面は， $(d+1)\times (d+1)\,$ 対称行列 $A\,$ と $(d+1)\,$ 次元ベクトル $\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_d,1)^{\top}\,$ を用いて， $\boldsymbol{x}^{\top} A \boldsymbol{x}=0\,$ と表せる．点 $p=( \boldsymbol{p})=(p_1,p_2,\ldots,p_d)^{\top}\,$ に対して，方程式

$\boldsymbol{x}^{\top} A( \boldsymbol{p},1)=(x_1,x_2,\ldots,x_d,1)A (p_1,p_2,\ldots,p_d,1)^{\top}=0\,$

をみたす超平面 $D(p)\,$ を対応させる．逆に定数ベクトル $p=(p_1,p_2,\ldots,p_d)^{\top}\,$ を用いて $\boldsymbol{x}^{\top} A( \boldsymbol{p},1)=0\,$ と書ける超平面 $h\,$ に対して点 $D(h)=p\,$ を対応させる．明らかに $D(D(p))=p,D(D(h))=h\,$ であり，この変換 $D\,$ は双対変換である．点 $p\,$ と超平面 $D(p)\,$ (点 $D(h)\,$ と超平面 $h\,$ ) は，2次曲面 $\boldsymbol{x} A \boldsymbol{x}^{\top}=0\,$ に関する極と極面となる．2次曲面としては，球や面がよく用いられる．

　以下，簡単のため2次元の場合を述べる．放物線 $y=(x^2)/2\,$ を用いれば，点 $p=(p_x,p_y)\,$ に対する極線 $D(p)\,$ は $y=p_xx-p_y\,$ となる． $y\,$ 軸に平行でない直線 $h\,$ は，傾き $p_x\,$ と $y\,$ 切片のマイナスの $p_y\,$ を用いて $y=p_xx-p_y\,$ と表せ， $h\,$ の極 $D(h)\,$ は点 $(p_x,p_y)\,$ となる． $p\,$ が放物線上にあるとき， $p\,$ での接線が $D(p)\,$ となる．

　この変換は，接続関係(上下関係)を保存する．すなわち，点 $p=(p_x,p_y)\,$ と直線 $h\colon y=q_xx-q_y\,$ およびその双対変換 $D(p)\colon y=p_xx-p_y\,$ と $D(h)=(q_x,q_y)\,$ に対して $p_y+q_y\,$ と $p_xq_x\,$ の大小関係に応じて以下のことが成立する．

(a) 点 $p\,$ が直線 $h\,$ 上にあるとき，およびそのときのみ，点 $D(h)\,$ は直線 $D(p)\,$ 上にある $(p_y+q_y=p_xq_x)\,$ ．

(b) 点 $p\,$ が直線 $h\,$ を境界とする上半平面(下半平面)にあるとき，およびそのときのみ，点 $D(h)\,$ は直線 $D(p)\,$ を境界とする上半平面(下半平面)にある．

　2次曲線として円を用いた場合の極変換も重要である．このとき，原点以外の点 $(p_x,p_y)\,$ は直線 $p_xx+p_yy-1=0\,$ に変換される．この直線は，原点からの距離が原点と元の点 $(p_x,p_y)\,$ の距離の逆数になっており，原点と元の点を結ぶ直線に垂直で，原点に関して元の点と同じ側の直線となる．