非相対論的フォック空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/15 11:06 UTC 版)
「シュレーディンガー場」の記事における「非相対論的フォック空間」の解説
シュレーディンガー場は、ヒルベルト状態空間を拡張して、任意の粒子数の構成を含めることで定義されます。 この一連の状態のほぼ完全な基礎は、次のような元の集合です。 | N ; x 1 , … , x N ⟩ {\displaystyle |N;x_{1},\ldots ,x_{N}\rangle \,} これは粒子の総数とそれぞれの位置によってラベル付けされている。 粒子が離れた位置にある任意の状態は、これらの状態の重ね合わせによって記述されます。 ψ 0 | 0 ⟩ + ∫ x ψ 1 ( x ) | 1 ; x ⟩ + ∫ x 1 x 2 ψ 2 ( x 1 , x 2 ) | 2 ; x 1 x 2 ⟩ + … {\displaystyle \psi _{0}|0\rangle +\int _{x}\psi _{1}(x)|1;x\rangle +\int _{x_{1}x_{2}}\psi _{2}(x_{1},x_{2})|2;x_{1}x_{2}\rangle +\ldots \,} この形式では、位置を互いに入れ替えることができる2つの状態は実際には同じであるため、積分では重複を避ける必要がある。 また、同じ位置に複数の粒子がある状態はまだ定義されていないことに注意する必要がある。 ψ 0 {\displaystyle \psi _{0}} は粒子が存在しないという振幅であり、その絶対値二乗は系が真空にある確率である。 シュレーディンガー表現を再現するためには、基底状態の内積を ⟨ 1 ; x 1 | 1 ; y 1 ⟩ = δ ( x 1 − y 1 ) {\displaystyle \langle 1;x_{1}|1;y_{1}\rangle =\delta (x_{1}-y_{1})\,} ⟨ 2 ; x 1 x 2 | 2 ; y 1 y 2 ⟩ = δ ( x 1 − y 1 ) δ ( x 2 − y 2 ) ± δ ( x 1 − y 2 ) δ ( x 2 − y 1 ) {\displaystyle \langle 2;x_{1}x_{2}|2;y_{1}y_{2}\rangle =\delta (x_{1}-y_{1})\delta (x_{2}-y_{2})\pm \delta (x_{1}-y_{2})\delta (x_{2}-y_{1})\,} 等としてとればよい。 物理的性質は異なるものの、ボソンとフェルミオンについてほぼ形式的に同一であるため、ここから粒子はボソンであるものとする。 このヒルベルト空間には自然な演算子がある。 ψ † ( x ) {\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }(x)} と呼ばれる1つの演算子は、xに余分な粒子を生成する演算子である。各基本状態に対して定義される: ψ † ( x ) | N ; x 1 . . . x n ⟩ = | N + 1 ; x 1 , . . . , x n , x ⟩ {\displaystyle \psi ^{\dagger }(x)|N;x_{1}...x_{n}\rangle =|N+1;x_{1},...,x_{n},x\rangle \,} （粒子がすでにxにある場合にはやや曖昧さがある。） 別の演算子は位置xにある粒子を消滅させる。これは ψ {\displaystyle \psi } と書かれる。 この演算子の共役演算子は ψ † {\displaystyle \psi ^{\dagger }} です。 ψ † {\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }} についてxに粒子のない状態に対応する行列要素はなく、そのような状態に作用するときはゼロを与える。 ψ ( x ) | N ; x 1 . . . , x N ⟩ = δ ( x − x 1 ) | N − 1 ; x 2 . . . , x N ⟩ + δ ( x − x 2 ) | N − 1 ; x 1 , x 3 . . . , x N ⟩ + … {\displaystyle \psi (x)|N;x_{1}...,x_{N}\rangle =\delta (x-x_{1})|N-1;x_{2}...,x_{N}\rangle +\delta (x-x_{2})|N-1;x_{1},x_{3}...,x_{N}\rangle +\ldots \,} 位置を規定にとるのは、ある点に局在する粒子を持つ状態が無限のエネルギーを持つため、粒子を理解するのに不便な方法であり、直観的理解は困難である。 2つの粒子がまったく同じ位置にあるときに何が起こるかを見るためには、空間を離散格子にするか、有限体積で場をフーリエ変換することが数学的には最も簡単な方法になる。 オペレーター ψ † ( k ) = ∫ x e − i k x ψ † ( x ) {\displaystyle \psi ^{\dagger }(k)=\int _{x}e^{-ikx}\psi ^{\dagger }(x)\,} は、運動量kの平面波状態である1粒子状態の重ね合わせを生成する。つまり、運動量kの新しい粒子を生成する。 オペレーター ψ ( k ) = ∫ x e i k x ψ ( x ) {\displaystyle \psi (k)=\int _{x}e^{ikx}\psi (x)\,} 運動量kの粒子を消滅させる。 無限遠の粒子の相互作用のポテンシャルエネルギーがなくなると、無限体積のフーリエ変換演算子は相互作用しない状態を作成します。 状態は無限に広がっており、粒子が近くにある可能性はゼロとなる。 一致しないポイント間の演算子の行列要素は、すべてのモード間のフーリエ変換の行列要素を再構築される。 ψ † ( k ) ψ † ( k ′ ) − ψ † ( k ′ ) ψ † ( k ) = 0 {\displaystyle \psi ^{\dagger }(k)\psi ^{\dagger }(k')-\psi ^{\dagger }(k')\psi ^{\dagger }(k)=0\,} ψ ( k ) ψ ( k ′ ) − ψ ( k ′ ) ψ ( k ) = 0 {\displaystyle \psi (k)\psi (k')-\psi (k')\psi (k)=0\,} ψ ( k ) ψ † ( k ′ ) − ψ ( k ′ ) ψ † ( k ) = δ ( k − k ′ ) {\displaystyle \psi (k)\psi ^{\dagger }(k')-\psi (k')\psi ^{\dagger }(k)=\delta (k-k')\,} ここで、デルタ関数は、体積が無限か有限かに応じて、 ディラックデルタ関数またはクロネッカーデルタのいずれかである。 これによって交換関係は演算子を完全に決定するものとなる。空間体積が有限の場合、運動量は離散的であるため、一致する運動量を理解するための概念的な障害はありません。 離散運動量基底では、基底状態は次のとおりである。 | n 1 , n 2 , . . . n k ⟩ {\displaystyle |n_{1},n_{2},...n_{k}\rangle \,} ここで、nは各運動量をもつ粒子の数である。 フェルミオンとエニオンの場合、任意の運動量での粒子の数は常に0または1である。 オペレーター ψ k {\displaystyle \scriptstyle \psi _{k}} は相互作用に関係なく、状態間に調和振動子でのそれに似たマトリックス要素がある： ψ † ( k ) | . . , n k , … ⟩ = n k + 1 | . . . , n k + 1 , … ⟩ {\displaystyle \psi ^{\dagger }(k)|..,n_{k},\ldots \rangle ={\sqrt {n_{k}+1}}\,|...,n_{k}+1,\ldots \rangle } ψ ( k ) | . . . , n k , … ⟩ = n k | . . . , n k − 1 , … ⟩ {\displaystyle \psi (k)|...,n_{k},\ldots \rangle ={\sqrt {n_{k}}}\,|...,n_{k}-1,\ldots \rangle } そのため、演算子 ∑ k ψ † ( k ) ψ ( k ) = ∫ x ψ † ( x ) ψ ( x ) {\displaystyle \sum _{k}\psi ^{\dagger }(k)\psi (k)=\int _{x}\psi ^{\dagger }(x)\psi (x)} 粒子の総数をカウントする。 これで、 ψ ( x ) {\displaystyle \scriptstyle \psi (x)} 、 ψ † ( x ) {\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }(x)} の行列要素が調和振動子に似た交換関係があることが容易に見て取れる。 [ ψ ( x ) , ψ ( y ) ] = [ ψ † ( x ) , ψ † ( y ) ] = 0 {\displaystyle [\psi (x),\psi (y)]=[\psi ^{\dagger }(x),\psi ^{\dagger }(y)]=0} [ ψ ( x ) , ψ † ( y ) ] = δ ( x − y ) {\displaystyle [\psi (x),\psi ^{\dagger }(y)]=\delta (x-y)} そのため、配位空間にある粒子が実際に存在するのは困難ではない。 オペレーター ψ † ( x ) ψ ( x ) {\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }(x)\psi (x)} は粒子を除去および置換し、xに粒子が存在するかどうかを検出するセンサーとして機能する。 オペレーター ψ † ∇ ψ {\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }\nabla \psi } は多体波動関数の勾配を状態に掛ける働きをする。 オペレーター H = − ∫ x ψ † ( x ) ∇ 2 2 m ψ ( x ) {\displaystyle H=-\int _{x}\psi ^{\dagger }(x){\nabla ^{2} \over 2m}\psi (x)\,} はいかなる基底に作用する場合でも、シュレディンガー方程式の右辺を構築するように作用するため ψ † i d d t ψ = ψ † − ∇ 2 2 m ψ {\displaystyle \psi ^{\dagger }i{d \over dt}\psi =\psi ^{\dagger }{-\nabla ^{2} \over 2m}\psi \,} が演算子方程式として成立します。 これは任意の状態に当てはまるため、 ψ † {\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }} を除去しても成立する。 i ∂ ∂ t ψ = − ∇ 2 2 m ψ {\displaystyle i{\partial \over \partial t}\psi ={-\nabla ^{2} \over 2m}\psi \,} 相互作用を追加するには、場の方程式に非線形項を追加する。 場の形は、ポテンシャルが対称性の制限に従うことを自動的に保証します。
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