ぷろじぇくとかんりとは?

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プロジェクト管理

読み方:ぷろじぇくとかんり
【英】:project management

概要

大規模建設研究開発などをプロジェクト呼び, これらプロジェクト計画設計日程立案組織化し, その実行過程を統制することがプロジェクト管理である. しかし実際には, その意味するところは, その言葉を使う人によって異なる. ORの分野では伝統的に, PERT/CPMやプロジェクト経済性分析など, 問題を解く技術的側面主な関心がもたれてきたが, 他の分野では, プロジェクト組織といった, 人間が関係する側面により関心が払われてきた.

詳説

 大規模建設研究開発プロジェクト(project)とよび, これらプロジェクト計画設計日程立案組織化し, その実行過程を統制することをプロジェクト管理という. しかし実際には, プロジェクト管理の意味するところは, その言葉を使う人によって異なる. ORの分野では伝統的に, PERT/CPMなど問題を解く技術的側面主な関心がもたれてきたが, ほかの分野では, プロジェクト組織といった, 人間が関係する側面により関心が払われてきた.

 PERT/CPMは, プロジェクト・スケジューリング(project scheduling)と総称される. PERT作業(job, activity)の所要時間に関して確率取扱いを含むのに対し, CPM決定論アプローチである. それでも, これら2つの方法はよく似た手法であり, PERT/CPM法とよばれる [1, 2].

(1)PERT: PERTは, それまで使われてきたガントチャート(バーチャートともいう)に替わって, 大規模工事計画管理の手法として, 1958年米海軍ポラリス・ミサイル開発プロジェクトのために生み出された.

 PERTでは, プロジェクト構成する作業先行関係表現するのに, 矢線(arrow)と結合点(node, event)とからなる有向のネットワーク図を用い, これに基づいて日程計画管理する手法である. また, このネットワーク図アローダイヤグラム矢線図(arrow diagram)とよび, そのかき方に次の3つのルールがある.

(i)1つ作業は2つの結合点を結ぶ1つの矢線で図示し, 矢線の両端結合番号の対 (i,j)\, によって作業を表す(図1 (a)参照).

(ii)「作業Cは作業AとBがすむと取りかかることができる」という先行関係は, 図1(b)のように表現する. 作業先行関係を正確に表現するためにダミー作業が使われる(図1 (c)参照).

(iii)付番を一意的とするため, 平行作業には図1 (d)のようにダミー作業導入する.


図1 作業と先行関係の表現法

図1 作業先行関係表現


アローダイヤグラムの例を図2に示す.


図2 アローダイヤグラムと結合点時刻の例

図2 アローダイヤグラム結合時刻の例


 作業  (i,j)\, 作業時間 D_{ij}\, 与えられたとき, 結合j\, に最も早く到達しうる時刻最早結合点時刻(earliest node time) t_j^E\, とよび,



\left \{
\begin{array}{ll}
t_1^E=0 & \\
t_j^E= {\max}_{(i,j) \in P} (t_i^E + D_{ij}) & \ j=2,3,\ldots ,n
\end{array}
\right.
\,


計算する. ただし, P\, プロジェクト全体作業集合, n\, 終点を意味する. この計算前進計算という. 上式により求めt_n^E\, プロジェクト全体工期(総所要日数ともいう)を与える. つぎに, この工期から逆算して, 結合j\, 遅くとも到達していなければならない限界時刻である最遅結合点時刻(latest node time) t_j^L\, を次式から求める.



\left \{
\begin{array}{ll}
t_n^L=t_n^E & \\
t_j^L=\min_{(j,k) \in P} (t_k^L - D_{jk}) & j=1,2,\ldots ,n-1
\end{array}
\right.
\,


この計算後進計算という. これらの結合時刻から, 各作業開始時刻終了時刻限界が次式より求められる.


q_{ij}= 
\left\{
\begin{array}{l}
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\end{array} \right. 最早開始時刻 ES_{ij} = t_i^E \,
最遅開始時刻 LS_{ij} = t_j^L - D_{ij} \,
最早終了時刻 EF_{ij} = t_i^E + D_{ij} \,
最遅終了時刻 LF_{ij} = t_j^L \,


 最早時刻最遅時刻とに差異がある場合には, その作業日程上の余裕があることを意味し, この余裕フロート(float)とよぶ. 作業 (i,j)\, の全余裕時間(total float) TF_{ij}\, と自由余裕(freefloat) FF_{ij}\, は, 次式から求められる.



\begin{array}{l}
TF_{ij} = t_j^L - t_i^E - D_{ij} = LF_{ij} - EF_{ij} \\
FF_{ij} = t_j^E - t_i^E - D_{ij}  
\end{array}
\,


 アローダイヤグラムの矢線を順方向にたどって, 始点から終点に至る作業の列をパス(path)とよぶ. とくに TF_{ij}=0\, 作業の列で形成されるパスクリティカルパス(criticalpath)とよばれ, その長さすべてのパスのうち最長となっている.

 PERT手法を基礎として種々拡張試みられている [3], [4]. 例えば, (i)作業確率選択要素を入れたGERT(graphical evaluation and review technique)やVERT(ventureevaluation and review technique), (ii)PERT時間的要素とともに費用に関するデータ考慮して, 日程費用両面から計画管理を行うPERT/COST, (iii) 資源制約考慮して, その山積み山崩しアローダイヤグラムを基礎に実施ようとする資源制約付きプロジェクト・スケジューリング, (iv)単一プロジェクトから複数プロジェクト管理へ展開するRAMPS(resource allocationand multi-project scheduling), などがある.

 また, PERT計算で必要な各作業所要時間3点見積法見積もられることが多い.


(2)CPM: CPMでは, アローダイヤグラム構成する各作業 (i,j)\, 所要時間投入費用によって可変であるとし, 両者の間に図3のような線形関係仮定して日程計算を行う. 各作業標準時間 D_{ij}\, で行うときの費用M_{ij}\, , 特急時間 d_{ij}\, で処理するときの費用m_{ij}\, とするとき, 所要時間 y_{ij}\, ( d_{ij} \le y_{ij} \le D_{ij}\, )に対す費用 z_{ij}\,



z_{ij} = -c_{ij}y_{ij} + k_{ij}
\,


与えられる. ただし,



c_{ij} = (m_{ij} - M_{ij})/(D_{ij} - d_{ij})
\,


は, 作業単位時間短縮するのに要する増加費用で, 費用増加率よばれる. k_{ij}\, 定数項である.

 CPMは, 以下のように定式化される. アローダイヤグラム結合i\, (  i=1,2,\ldots ,n \, )の結合時刻t_i \, , 達成したいプロジェクト全体工期\lambda\, ( =t_n\, )とすると,

制約条件:


\left \{
\begin{array}{ll}
y_{ij} + t_i - t_j \le 0 & (i,j) \in P \\
t_1 = 0 \\
t_n = \lambda \\
d_{ij} \le y_{ij} \le D_{ij}
\end{array}
\right.
\,


のもとで, プロジェクト総費用



z(\lambda)=\sum_{(i,j)\in P} (-c_{ij} y_{ij} + k_{ij})
\,


最小化するような日程計画{ t_i, y_{ij}\, }を求め問題となる. ここで, P\, プロジェクト作業集合を意味する.


 CPM解法はいくつかの方法がある. 1つの方法は, CPM問題工期 \lambda\, パラメタとするパラメトリック線形計画法(parametric LP)と見なして解く解法で, プライマル・デュアル法(primal-dual algorithm)に基づく解法提案されている. より広く使われている解法ラベリング法(labeling algorithm)がある. この方法は, 各作業費用増加率 c_{ij}\, を矢線の容量制約とし, 始点から終点最大フローを流す問題としてCPM問題を解く方法である. 多く解法提案されており, その計算量比較行われている [5].


図3 費用関数

図3 費用関数


 プロジェクト・スケジューリングの最近研究が [6, 7]にまとめられている.



参考文献

[1] 関根智明,『PERTCPM』,日科技連出版社, 1973.

[2] 刀根薫,『PERT入門』,東洋経済新報社, 1977.

[3] S. E. Elmaghraby, Activity Networks, John Wiley & Sons, 1977. 加瀬滋男『アクティビティネットワーク』,日刊工業新聞社, 1979.

[4] S. I. Gass and C. M. Harris, eds., Encyclopedia of Operations Research and Management Science, Kluwer Academic, 1996. 森村英典, 刀根薫, 伊理正夫監訳,『経営科学OR用語大辞典』,朝倉書店, 1999.

[5] R. K. Ahuja, T. L. Magnanti and J. B. Orlin, "Network Flows," in Optimization, G. L. Nemhauser, A. H. G. Rinnooy Kan and M. J. Todd, eds., North-Holland, 1989.

[6] L. V. Tavares, Advanced Models for Project Management, Kluwer Academic, 1999.

[7] J. Weglarz, ed., it Project Scheduling: Recent Models, Algorithms and Applications, Kluwer Academic Publishers, 1999.






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