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フィボナッチ数

(f(n-1) f(n-2) から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2025/07/12 06:13 UTC 版)

フィボナッチ数を一辺とする正方形

フィボナッチ数(フィボナッチすう、: Fibonacci number)は、イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチ(ピサのレオナルド)に因んで名付けられたである。

概要

フィボナッチ数列 フィボナッチすうれつ: Fibonacci sequence(Fn) は、次の漸化式で定義される:

パスカルの三角形の各々の底辺角に等分割線を加筆し、線上の数を合計していくと、フィボナッチ数列が現れる。

フィボナッチ数列の螺旋。
ヒマワリの種は螺旋状に並んでおり、螺旋の数を数えていくとフィボナッチ数が現れる[12]
  • フィボナッチ数は自然界の現象に数多く出現する。
  • また、フィボナッチ数列が生み出す螺旋は、世界で最も美しい螺旋だと言われている。

ヨハネス・ケプラーは1611年に発表した小論文「新年の贈り物あるいは六角形の雪について」において、フィボナッチ数を自己を増殖する比例と呼び、植物の種子の能力の現れであると論じた[13]

  • アブラナダイコン花びらは4枚であり、植物学では花式図より3数性、4数性、5数性で分類される[15][16]
  • 植物に現れる螺旋の数もフィボナッチ数であることが多い。
    • ヒマワリの螺旋の数はフィボナッチ数とされることもあるが、螺旋の数が多い場合、中心から離れると螺旋の隙間にも種ができてしまうため、途中から枝分かれしてフィボナッチ数にならないこともある[17]
  • パイナップルの螺旋の数は時計回りは13、反時計回りは8になっている。
  • 葉序(植物の葉の付き方)はフィボナッチ数と関連している。(シンパー=ブラウンの法則)
  • らせん葉序におけるシンパー・ブラウンの法則はフィボナッチ数列と関連するが、「近似値を示すにすぎず、またこれにあてはまらない例もある」(岩波生物学辞典)。
  • ハチアリなど、オスに父親がない家系を辿っていくとフィボナッチ数列が現れる(父母2匹、祖父母3匹、曽祖父母5匹、高祖父母8匹…)。
  • n 段の階段を1段または2段ずつ登るときに、登る場合の数は Fn+1 通りある。
  • ●と○を合わせて n 個並べる。●が2個以上続かないように一列に並べる方法は Fn+2 通りある。
  • 為替などのテクニカル分析で、フィボナッチ・リトレースメントという手法がよく使われている。

負数番への拡張

フィボナッチ数列は、漸化式 Fn = Fn−1 + Fn−2 を全ての整数 n に対して適用することにより、n が負の整数の場合に拡張できる。そして Fn = (−1)n+1Fn が成り立つ。この式より、負の番号の項は次のようになる。

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Fn 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765
F−n 0 1 −1 2 −3 5 −8 13 −21 34 −55 89 −144 233 −377 610 −987 1597 −2584 4181 −6765

類似の数列

フィボナッチ数列の定義である初期値や漸化式をやや変更して、類似の数列が作れる。

項数の変更

フィボナッチ数列は各項が先行する二項の和であるものであったが、それを「先行する k 項の和」と置き換えた一般化

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