フィボナッチ数列の逆数和とは？わかりやすく解説

数学において、フィボナッチ数列の逆数和（フィボナッチすうれつのぎゃくすうわ、英: reciprocal Fibonacci constant）、またはψは、フィボナッチ数列の逆数の総和として定義される数学定数である。

\psi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{21}}+\cdots .

この和の連続した項の比は、黄金比の逆数に近づく。従って、ダランベールの収束判定法により、この和は収束する。

ψの値は、おおよそで以下のようになると知られている^[1]。

\psi =3.359885666243177553172011302918927179688905133731\dots .

ビル・ゴスパー（英語版）は、この値の高速な数値近似のためのアルゴリズムを得た。フィボナッチ数列の逆数和自身は $k$ 個の項に対し $O(k)$ 桁の精度であるが、ゴスパーのSeries accelerationではk個の項に対し $O(k 2)$ 桁の精度である^[2]。

$ψ$ は無理数であると知られている。これはポール・エルデシュ、ロナルド・グラハム、Leonard Carlitzなどにより予想され、1989年、Richard André-Jeanninによって証明された^[3]。フィボナッチ数列の逆数和が超越数(代数的数でない数)であるかは、分かっていない。

連分数展開(数列表記)は、

\psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\dots ]\!\,

のようになる^[4]。

脚注

^ オンライン整数列大辞典の数列 A079586
^ Gosper, William R. (1974), Acceleration of Series, Artificial Intelligence Memo #304, Artificial Intelligence Laboratory, Massachusetts Institute of Technology, p. 66, https://hdl.handle.net/1721.1/6088
^ André-Jeannin, Richard (1989), “Irrationalité de la somme des inverses de certaines suites récurrentes”, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 308 (19): 539–541, MR 0999451
^ オンライン整数列大辞典の数列 A079587