広義固有ベクトル

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広義固有ベクトル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/06 09:12 UTC 版)

線型代数学において，n × n 行列 A の広義（あるいは一般）固有ベクトル（こうぎこゆうベクトル，いっぱんこゆうベクトル，英: generalized eigenvector）は，（通常の）固有ベクトルの定義を緩めたある条件を満たすベクトルである^[1]．

V を n 次元ベクトル空間とする．φ を V から V への線型写像とする．A をある基底についての φ の行列表示とする．

V の完全な基底をなす A の n 個の線型独立な固有ベクトルがいつも存在するとは限らない．つまり，行列 A は対角化可能とは限らない^[2][3]．これは少なくとも1つの固有値 λ_i の代数的重複度がその幾何学的重複度（行列 A − λ_iI の退化次数（英語版），あるいはその零空間の次元）よりも大きいときに起こる．この場合，λ_i は不足固有値（英語版）と呼ばれ，A は不足行列（英語版）と呼ばれる^[4]．

λ_i に対応する広義固有ベクトル x_i は，行列 A − λ_iI とあわせて，V の不変部分空間の基底をなす線型独立な広義固有ベクトルのジョルダン鎖を生成する^[5][6][7]．

広義固有ベクトルを用いて，A の線型独立な固有ベクトルの集合を必要ならば V の完全な基底に拡張できる^[8]．この基底は A に相似なジョルダン標準形にある「ほとんど対角な行列」J を決定するのに用いることができ，これは A のある行列関数（英語版）を計算するのに有用である^[1]．行列 J は A が対角化可能とは限らないときに線形微分方程式系 x′ = Ax を解く際にも有用である^[9][3]．

概要と定義

（通常の）固有ベクトルを定義するいくつかの同値な方法がある^{[10][11][12][13][14][15][16][17]}．n × n 行列 A の固有値 λ の固有ベクトル x とは，(λI − A)x = 0 なる零でないベクトルである，ただし I は n × n の単位行列であり，0 は n 次元の零ベクトルである^[12]．つまり，x は変換 A − λI の核に属する．A が n 個の線型独立な固有ベクトルを持てば，A は対角行列 D に相似である．つまり，ある可逆行列 M が存在して，A は相似変換 D = M⁻¹AM により対角化可能である^[18][19]．行列 D は A のスペクトル行列（英語版）と呼ばれる．行列 M は A の モード行列（英語版） と呼ばれる^[20]．対角化可能な行列は，その行列関数が容易に計算できるなどの特長がある^[21]．

一方，n × n 行列 A が n 個の線型独立な固有ベクトルを持たないとき，A は対角化可能ではない^[18][19]．

定義

ベクトル x_m が行列 A の固有値 λ に対応する階数 m の広義（あるいは一般）固有ベクトル (英: generalized eigenvector) であるとは，

$${\displaystyle (A-\lambda I)^{m}{\boldsymbol {x}}_{m}=0}$$

ジョルダン標準形の行列の例．灰色の箱はジョルダンブロックと呼ばれる．

詳細は「ジョルダン標準形」を参照

V を n 次元ベクトル空間とする；φ を V から自身への線型写像全体の集合 End(V) の元とする；A をある基底に関する φ の行列表示とする．次のことを示すことができる．A の特性多項式 f(λ) が一次式に分解して

${\displaystyle f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}}}$

の形，ただし ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}}$ は A の相異なる固有値，になれば，各 μ_i は対応する固有値 λ_i の代数的重複度であり，A はジョルダン標準形の行列 J に相似である，ただし各 λ_i は対角線上連続した μ_i 回現れ，各 λ_i の上（すなわち優対角（英語版））の各成分は 0 または 1 である；各 λ_i の最初の出現の上の成分はつねに 0 である．すべての他の成分は 0 である．行列 J は A の対角化にできるだけ近い．A が対角化可能ならば，対角線の上のすべての成分は 0 である^[34]．教科書によっては優対角成分ではなく 劣対角成分（英語版）, すなわち主対角線の直下に 1 たちがあることに注意．固有値はなお主対角線にある^[35][36]．

すべての n × n 行列 A は相似変換 J = M⁻¹AM によって得られるジョルダン標準形の行列 J に相似である，ただし M は A の広義モード行列である^[37]。

例 5

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{bmatrix}}}$

に相似なジョルダン標準形の行列を見つけよ．

解：A の特性方程式は (λ − 2)³ = 0 であるので，固有値は λ = 2（代数的重複度 μ = 3）である．前の節の手順に従って，

${\displaystyle \operatorname {rank} (2I-A)=1}$

と

${\displaystyle \operatorname {rank} (2I-A)^{2}=0=n-\mu }$

が分かる．したがって，ρ₂ = 1 と ρ₁ = 2 であり，A の標準基底は階数 2 の1つの線型独立な広義固有ベクトルと階数 1 の2つの線型独立な広義固有ベクトルを含むことが分かる，あるいは同じことだが，2つのベクトルの1つの鎖 {x₂, x₁} と1つのベクトルの1つの鎖 {y₁} を含む．M = (y₁ x₁ x₂) と書いて，次が分かる：

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{bmatrix}}}$

および

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{bmatrix}},}$

ただし M は A の広義モード行列で，M の列は A の標準基底で，AM = MJ である^[38]．広義固有ベクトル自身は一意ではないから，また M と J の両方の列のいくつかは交換できるから，M と J はいずれも一意ではないことが従うことに注意^[39]．

例 6

例 4 において，行列 A に対する線型独立な広義固有ベクトルの標準基底を求めた．A の広義モード行列は

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {y}}_{1}&{\boldsymbol {x}}_{1}&{\boldsymbol {x}}_{2}&{\boldsymbol {x}}_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}$

である．A に相似なジョルダン標準形の行列は

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{bmatrix}}}$

であり，AM = MJ である。

応用

行列関数

詳細は「行列関数（英語版）」を参照

正方行列に実行できる最も基本的な演算の3つは，和とスカラー倍と積である^[40]．これらは n × n 行列 A の多項式関数を定義するのにちょうど必要な演算である^[41]．多くの関数がマクローリン級数として書けることを基本的な解析学から思い出すと，行列のより一般の関数をきわめて容易に定義できる^[42]．A が対角化可能ならば，つまり

${\displaystyle D=M^{-1}AM}$

で

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}}$

ならば，

${\displaystyle D^{k}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{bmatrix}}}$

であり，A の関数のマクローリン級数の計算は大きく単純化される^[43]．例えば，A の任意の冪 k を得るには，D^k を計算し，M を左から掛け，さらに M⁻¹ を右から掛けるだけでよい^[44]．

広義固有ベクトルを用いて，A のジョルダン標準形を得ることができ，これらの結果は対角化可能でない行列の関数を計算する直截的手法に一般化できる^[45]．（行列関数#ジョルダン分解（英語版）を参照．）

微分方程式

詳細は「常微分方程式」を参照

次の線型常微分方程式系を解く問題を考える：

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}'=A{\boldsymbol {x}},}$

(5)

ただし

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {x}}'={\begin{bmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{bmatrix}},}$      および      ${\displaystyle A=(a_{ij})}$

行列 A が対角行列で i ≠ j に対して a_ij = 0 のとき，系 (5) は次の形の n 個の方程式の系に簡約される：

${\displaystyle x_{1}'=a_{11}x_{1}}$
${\displaystyle x_{2}'=a_{22}x_{2}}$

$\vdots$

${\displaystyle x_{n}'=a_{nn}x_{n}}$

(6)

この場合，一般解は次で与えられる：

${\displaystyle x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}}$

${\displaystyle x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}}$

$\vdots$

${\displaystyle x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}}$

一般の場合には，A を対角化し系 (5) を (6) のような系に以下のように簡約しようとする．A が対角化可能ならば，M を A のモード行列として，D = M⁻¹AM である．A = MDM⁻¹ を代入して，方程式 (5) は次の形となる：${\displaystyle M^{-1}{\boldsymbol {x}}'=D(M^{-1}{\boldsymbol {x}}),}$ あるいは

${\displaystyle {\boldsymbol {y}}'=D{\boldsymbol {y}},}$

(7)

ただし

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=M{\boldsymbol {y}}.}$

(8)

(7) の解は

${\displaystyle y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}}$

${\displaystyle y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}}$

$\vdots$

${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}}$

(5) の解 x はすると関係式 (8) を用いて得られる^[46]

一方，A が対角化可能でなければ，M を A の広義モード行列に選び，J = M⁻¹AM を A のジョルダン標準形とする．系 y′ = Jy は次の形を持つ：

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'&=\lambda _{1}y_{1}+\epsilon _{1}y_{2}\\&\vdots \\y_{n-1}'&=\lambda _{n-1}y_{n-1}+\epsilon _{n-1}y_{n}\\y_{n}'&=\lambda _{n}y_{n}\end{aligned}}}$

(9)

ただし λ_i は J の主対角成分にある固有値であり，ε_i は J の優対角成分にある 1 と 0 である．系 (9) はしばしば (5) よりも容易に解かれる．(9) の最後の方程式を y_n に対して解いて，${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}}$ を得る．次に y_n のこの解を (9) の最後から二番目の方程式に代入して，y_{n − 1} に対して解く．この手順を続けて，(9) を最後の方程式から最初までやり，y に対する全体の系を解く．すると解 x は関係式 (8) を用いて得られる^[47]．

脚注

[脚注の使い方]

1. ^ ^{a b c} Bronson 1970, p. 189.
2. ^ ^{a b} Beauregard & Fraleigh 1973, p. 310.
3. ^ ^{a b c d} Nering 1970, p. 118.
4. ^ Golub & Van Loan 1996, p. 316.
5. ^ Beauregard & Fraleigh 1973, p. 319.
6. ^ ^{a b} Bronson 1970, pp. 194–195.
7. ^ Golub & Van Loan 1996, p. 311.
8. ^ ^{a b} Bronson 1970, p. 196.
9. ^ Beauregard & Fraleigh 1973, pp. 316–318.
10. ^ Anton 1987, pp. 301–302.
11. ^ Beauregard & Fraleigh 1973, p. 266.
12. ^ ^{a b} Burden & Faires 1993, p. 401.
13. ^ Golub & Van Loan 1996, pp. 310–311.
14. ^ Harper 1976, p. 58.
15. ^ Herstein 1964, p. 225.
16. ^ Kreyszig 1972, pp. 273, 684.
17. ^ Nering 1970, p. 104.
18. ^ ^{a b} Beauregard & Fraleigh 1973, pp. 270–274.
19. ^ ^{a b} Bronson 1970, pp. 179–183.
20. ^ Bronson 1970, p. 181.
21. ^ Bronson 1970, p. 179.
22. ^ Bronson 1970, pp. 190, 202.
23. ^ Bronson 1970, pp. 189, 203.
24. ^ Bronson 1970, pp. 206–207.
25. ^ ^{a b} Bronson 1970, p. 205.
26. ^ Bronson 1970, pp. 189, 209–215.
27. ^ Herstein 1964, p. 261.
28. ^ Nering 1970, pp. 122, 123.
29. ^ Bronson 1970, pp. 189–209.
30. ^ Bronson 1970, pp. 196, 197.
31. ^ Bronson 1970, pp. 197, 198.
32. ^ Bronson 1970, pp. 190–191.
33. ^ Bronson 1970, pp. 197–198.
34. ^ Beauregard & Fraleigh 1973, p. 311.
35. ^ Cullen 1966, p. 114.
36. ^ Franklin 1968, p. 122.
37. ^ Bronson 1970, p. 207.
38. ^ Bronson 1970, p. 208.
39. ^ Bronson 1970, p. 206.
40. ^ Beauregard & Fraleigh 1973, pp. 57–61.
41. ^ Bronson 1970, p. 104.
42. ^ Bronson 1970, p. 105.
43. ^ Bronson 1970, p. 184.
44. ^ Bronson 1970, p. 185.
45. ^ Bronson 1970, pp. 209–218.
46. ^ Beauregard & Fraleigh 1973, pp. 274–275.
47. ^ Beauregard & Fraleigh 1973, p. 317.

参考文献

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0 
• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-98258-8 
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X 
• Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, LCCN 70-97490 
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (5th ed.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3 
• Cullen, Charles G. (1966), Matrices and Linear Transformations, Reading: Addison-Wesley, LCCN 66-21267 
• Franklin, Joel N. (1968), Matrix Theory, Englewood Cliffs: Prentice-Hall, LCCN 68-16345 
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-5414-8 
• Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9 
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016 
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8 
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76-91646 

外部リンク

• Stover, Christopher.. "Generalized Eigenvector". MathWorld (英語).
• generalized eigenvector - PlanetMath.（英語）

表 話 編 歴 線型代数学・行列解析
連立一次方程式	ガウスの消去法 クラメルの公式 ガウス＝ザイデル法 ヤコビ法
ベクトル	線型独立 線型結合 基底 双対基底
ベクトル空間	双対空間 核空間 固有空間 広義固有空間 線型包 行空間 列空間 次元
計量ベクトル空間	ドット積 コーシー＝シュワルツの不等式 直交 正規直交系 正規直交基底 グラム・シュミットの正規直交化法 直交補空間
行列・線型写像	演算・操作 乗法 転置 逆行列 サラスの方法 基本変形 対角化 分解 LU QR コレスキー シューア 特異値 固有値 不変量 行列式 跡 階数 固有値と固有ベクトル 固有多項式 最小多項式 単因子 階数標準形 スミス標準形 ジョルダン標準形 有理標準形 小行列式 クラス 正則 基本 対称 エルミート 正規 直交 回転 ユニタリ 冪零 射影 正定値 ユニモジュラー 置換 区分
行列式	余因子展開 余因子行列 ヴァンデルモンドの行列式 終結式 コーシー・ビネの公式
多重線型代数	外積 外積代数 対称代数 テンソル代数
数値線形代数	基本的な概念 浮動小数点 数値的安定性 疎行列 Z-行列 M行列 条件数 ゲルシュゴリンの定理 クリロフ部分空間 ソフトウェア Matrix Laboratory Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) LAPACK 数値解析ソフトの比較/一覧 ライブラリ Armadillo INTLAB OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較 反復法・技法 SOR法 共役勾配法 GMRES法 固有値問題の数値解法 ランチョス法 QR法 べき乗法 逆べき乗法 ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズム ハウスホルダー変換 ギブンス回転 人物 ジェームズ・H・ウィルキンソン クリーブ・モラー ニコラス・ハイアム ジーン・ゴラブ リチャード・バルガ
行列値関数	行列指数関数 行列の対数 行列の平方根
その他	スカラー ケイリー・ハミルトンの定理 ペロン＝フロベニウスの定理 シューア補行列 シルヴェスターの慣性法則