広義の記数法

ウィキペディア

広義の記数法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/06 06:07 UTC 版)

この項では基本的な位取り記数法を除く、負の数や虚数を含む記数法等について述べる。 ここでは仮数とは、その位に記された数のこととし、 底（てい）とは、その位の一つ上の位の値が持つ、その位に対する重みの倍率とする。

標準的な記数法

この節では、底が一定で冗長でない記数法について説明する。

書き方は位取り記数法と同じく、底が K であれば、数

${\displaystyle \cdots +c_{2}K^{2}+c_{1}K^{1}+c_{0}K^{0}+c_{-1}K^{-1}+c_{-2}K^{-2}+\cdots }$

底が -1+i で 0, 1 を仮数に持つ記数法により 0.XXX... の形で表記できる範囲。ツインドラゴン曲線と酷似する。

商は K進法で c_nc_n-1…c₀ となり、 余りは r_-1 となる。 ただし記数法によっては、 0.XXX... の形で表記できる範囲がフラクタルを描くため Q_K が作れなくなり、除算が不可能となる。 またこの操作をさらに続けると、循環小数が商として得られる。

Q(r, d) の例を次に示す。

• 十進法

d≦0 または r＜0 または 10d≦r は禁止で、
0≦r＜d ならば Q(r, d)=0
d≦r＜2d ならば Q(r, d)=1
2d≦r＜3d ならば Q(r, d)=2
......
8d≦r＜9d ならば Q(r, d)=8
9d≦r＜10d ならば Q(r, d)=9 となる。

• 底が -2 で仮数に 0, 1 を持つ記数法

d=0 または (r＜-2d/3 かつ r＜4d/3) または (-2d/3＜r かつ 4d/3＜r) は禁止で、
d/3＜r≦4d/3 または 4d/3≦r＜d/3 ならば Q(r, d)=1
-2d/3≦r≦d/3 または d/3≦r≦-2d/3 ならば Q(r, d)=0 となる。

• 平衡三進法

d=0 または (r＜-3d/2 かつ r＜3d/2) または (-3d/2＜r かつ 3d/2＜r) は禁止で、
d/2＜r≦3d/2 または 3d/2≦r＜d/2 ならば Q(r, d)=1
-d/2≦r≦d/2 または d/2≦r≦-d/2 ならば Q(r, d)=0
-3d/2≦r＜-d/2 または -d/2＜r≦-3d/2 ならば Q(r, d)=-1 となる。

記法の変換方法

標準的な記数法に対しての、数の表記法を変換する方法を説明する。

十進法からの変換（整数部分）

余りが仮数に含まれるように底で割っていく方法がある。この方法では下位の仮数から求まる。

例えば十進法で表記された数3620を平衡三進法に変換すると、

3620 ÷ 3 = 1207 . . . -1
1207 ÷ 3 =  402 . . .  1
 402 ÷ 3 =  134 . . .  0
 134 ÷ 3 =   45 . . . -1
  45 ÷ 3 =   15 . . .  0
  15 ÷ 3 =    5 . . .  0
   5 ÷ 3 =    2 . . . -1
   2 ÷ 3 =    1 . . . -1
   1 ÷ 3 =    0 . . .  1

から平衡三進法では 1${\displaystyle {\bar {1}}}$