部分群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/26 18:14 UTC 版)
群 G の部分集合 H が G の部分群（英: subgroup）であるとは、 H が G の演算に関して群になることである——より正確に表現すると、 H が G の部分群であるとは、G 上の演算を制限して得られる H 上の演算に関して H が群になることである。この関係は通常、
- ^ Robinson, Derek J. S. (1996). A Course in the Theory of Groups (Second ed.). p. 8. ISBN 978-1-4612-6443-9. Zbl 0836.20001
- ^ Jacobson (2009), p. 41
部分群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/04/04 01:10 UTC 版)
すべての成分が 1 であるような部分群はまさしく置換行列であり、それは対称群と同型である。 すべての成分が ±1 であるような部分群は符号付置換行列であり、それは超八面体群（英語版）である。 成分が m 次の冪根 であるような部分群は、一般化対称群（英語版）と同型である。 対角行列の部分群はアーベル群であり、正規であり、極大アーベル部分群である。その商群は対称群であり、この構成は実際、一般線型群のワイル群（英語版）を導く。すなわち、対角行列は一般線型群の極大トーラス（そして、それら自身の中心化群）であり、一般化置換行列はこのトーラスの正規化群であり、商 はワイル群である。
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部分群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:10 UTC 版)
自由アーベル群のすべての部分群はそれ自身自由アーベル群である。Richard Dedekindのこの結果は、自由群のすべての部分群は自由であるという類似のニールセン–シュライヤーの定理（英語版）の先駆けであり、無限巡回群のすべての非自明な部分群は無限巡回群である（英語版）という結果の一般化である。 定理 F {\displaystyle F} を自由アーベル群とし G ⊂ F {\displaystyle G\subset F} を部分群とする。このとき G {\displaystyle G} は自由アーベル群である。 証明には選択公理が必要である。Zorn の補題（選択公理と同値なたくさんの命題のひとつ）を用いた証明が Serge Lang の Algebra で見つけられる。Solomon Lefschetz と Irving Kaplansky は Zorn の補題の代わりに整列原理（英語版）を使うことでより直感的な証明ができることを主張した。 有限生成自由群の場合、証明はより容易で、より正確な結果が得られる。 定理 G {\displaystyle G} を有限生成自由アーベル群 F {\displaystyle F} の部分群とする。このとき G {\displaystyle G} は自由であり F {\displaystyle F} のある基底 ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})} と正の整数 d 1 | d 2 | … | d k {\displaystyle d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}} （つまり、各整数は次の整数を割り切る）が存在して ( d 1 e 1 , … , d k e k ) {\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})} は G {\displaystyle G} の基底である。さらに、列 d 1 , d 2 , … , d k {\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}} は F {\displaystyle F} と G {\displaystyle G} のみに依り問題を解く特定の基底 ( e 1 , … , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})} に依らない。 定理の存在の部分の構成的証明（英語版）は整数行列のスミス標準形（英語版）を計算する任意のアルゴリズムによって提供される。一意性は次の事実から従う。任意の r ≤ k に対して、行列のランク r の小行列式の最大公約数は Smith normal form の計算の間に変わらず、計算の最後における積 d 1 ⋯ d r {\displaystyle d_{1}\cdots d_{r}} である。
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部分群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/08 05:19 UTC 版)
群 G の空でない部分集合 H が G の群演算に関して閉じていて、H の任意の元に対して、逆元が H の元であるとき、この部分集合 H を G の部分群といい H ≤ G または G ≥ H と表す。これは空でない部分集合 H の任意の元 a, b に対して ab−1 ∈ H が成り立つことと同値である。 G が群であれば、G および {e}（単位元のみからなる群、単位群）は必ず G の部分群になる。これらを自明な部分群という（単位元のみからなる部分群のみを指す場合もある）。それ以外の部分群は、自明でない部分群あるいは真の部分群と呼ぶ（真部分集合であるような部分群という意味で、真の部分群に単位群を含める場合もある）。 部分群 N が群 G の任意の元 g に対して gNg−1 = N を満たすとき、N をGの正規部分群といい、 N ◃ G {\displaystyle N\triangleleft G} または G ▹ N {\displaystyle G\triangleright N} と書く。 アーベル群 G の任意の部分群は正規部分群である。また、自明でない群 G が自身と自明な部分群しか正規部分群を持たないとき、G は単純群であるという。
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部分群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/10 00:51 UTC 版)
交代群 A4 は、ラグランジュの定理の逆が一般には成立しないことを示す最小の群である。すなわち、有限群 G と、 |G| の約数 d が存在するときでも、G には位数 d の部分群が必ず存在するとは限らない。G = A4 とすると、位数は12になるが、位数6の部分群は存在しない。A4 の中で、3個だけの元の交代（3個だけの元の巡回置換）からなる元の集合は部分群をなすが、それに任意の元を付け加えて生成する群は A4 全体になる。
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部分群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/03 06:03 UTC 版)
実数体は加法に関して群であるが、その部分群は離散部分群か稠密部分群のいずれかしかない。なお前者の場合は巡回群となる。
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