部分群構造、行列とベクトルによる表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/19 07:05 UTC 版)
「ユークリッドの運動群」の記事における「部分群構造、行列とベクトルによる表現」の解説
ユークリッドの運動群はアフィン変換群の部分群である。 ユークリッドの運動群 E(n) の部分群として、平行移動群 T(n) と直交群 O(n) があり、また E(n) の任意の元は平行移動に続いて直交変換（変換の線型部）したものとして x ↦ A ( x + b ) {\displaystyle x\mapsto A(x+b)} （ここで A は直交行列である）あるいは直交変換後に平行移動した x ↦ A x + b {\displaystyle x\mapsto Ax+b} としてそれぞれ一意的に表すことができる。部分群 T(n) は E(n) の正規部分群、即ち任意の平行移動 t と任意の等長変換 u に対して u−1tu もまた平行移動となる（変位の言葉で言えば、u は t の変位の上に作用する。平行移動は変位に影響を与えないから、この変異は t に変換の線型部を適用した結果と一致する）。 これらの事実を組み合わせれば、運動群 E(n) は O(n) を T(n) で拡大した半直積であることが従う。言葉を替えれば、直交群 O(n) は（自然な仕方で）E(n) の T(n) による剰余群 O(n) ≅ E(n) / T(n) としても書ける。 さて、特殊直交群 SO(n) は O(n) の指数 2 の部分群である。それゆえ E(n) はやはり指数 2 の部分群 E+(n) を「向きを保つ」変換の全体として持つ。 SO(n) ≅ E+(n) / T(n). これらは線型部分 A の行列式が 1 の場合に対応する。 これらはある種の鏡映（二次元あるいは三次元の場合、原点を含む直線あるいは平面に関する鏡像という良く知られた鏡映変換、あるいは三次元の回映）の後に平行移動したものも、回転の後に平行移動したものとして表されることを示している。
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