部分表現、商、既約表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 08:17 UTC 版)
「既約 (数学)（英語版）」および「単純加群 」も参照 (W, ψ) を群 G の表現とする。すべての v ∈ V に対し g ・ v ∈ V となるという意味（セールは、このようなの V を G の下に安定と呼んだ）で、V が G の作用により不変な W の線型部分空間であるとき、V を部分表現(subrepresentation)と呼ぶ。φ(g) を ψ(g) の V への制限と定義することにより、(V, φ) は G の表現となり、W の V への制限は同変写像となる。商空間 W/V も G の表現として定義することができる。 W がちょうど 2つの部分表現しか持っていないとき、つまり、自明な部分空間（英語版）(trivial subspace) {0} と W 自身以外には部分表現空間を持たない場合、この表現を既約(irreducible)という。W が非自明な表現を持つとき、可約(reducible)という。 既約表現の定義は、シューアの補題を含んでいる。既約表現の間の同変写像 α: V → W は、その核と像が部分表現となるので、零射か、同型射となる。特に、V = W のとき、これは V の同変な自己準同型が基礎となる体 F 上の結合多元代数を形成する。F が代数的閉体であれば、既約な表現の同変自己準同型は、恒等元のスカラー倍のみである。 既約表現は、表現論の基本ブロックであり、表現 W が既約でないならば、ある意味、単純な部分表現と商表現から構成される。W が有限次元であれば、部分表現も商表現も次元がより小さなものとなる。
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