部分群の基本的な性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/26 18:14 UTC 版)
H が群 G の部分群であるということは、 H が空集合ではなく、演算と逆元に対して閉じているということを意味する（「閉じている」というのは「 H に含まれる任意の元 a および b について、 ab および a−1 も H に含まれる」ということである。なおこの2つの条件は、同値な1つの条件にまとめることができる。「 H に含まれる任意の元 a および b について、 ab−1 も H に含まれる」という条件である）。 H が有限集合の場合、 H が部分群であるということは、 H が積に関して閉じているということと同値である（この場合、 H の任意の元は、 H の有限巡回部分群を生成する。そして a の逆元は、 a の位数が n ならば a−1 = an − 1 となる）。 上記の条件は準同型の言葉で書き換えることができる。つまり H が G の部分群となる必要十分条件は、H が G の部分集合で、H から G への包含写像（任意の a ∈ H に対して i(a) = a となる写像）が準同型を与えることである。 部分群の単位元は群の単位元と等しい。つまり、G が eG を単位元とする群で、H が eH とする G の部分群ならば eH = eG でなければならない。 部分群のある元の逆元は、もとの群におけるその元の逆元と等しい。つまり H が群 G の部分群であり、a, b が H の元で ab = ba = eH を満たすならば ab = ba = eG が成り立つ。 部分群 A と B の共通部分はまた部分群になる。一方、部分群 A と B の和集合が部分群になるのは、 A と B の一方が他方を包含している場合のみに限られる。たとえば、2 と 3 はともに加法群としての 2Z と 3Z の和集合に含まれるが、それらの和である 5 はこの和集合には属さない。別の例では、平面上のX軸とY軸（加法について考える）がある。それぞれは部分群をなすが、それらの和集合は部分群にならない。ついでながら、これら二つの部分群の共通部分は、単位元である原点のみの部分群となる。 S が G の部分集合ならば S を含む最小の部分群が存在する。これは S を含む部分群すべての共通部分をとることによって求められる。これを記号 〈S〉 で表し、「 S から生成される部分群」とよぶ。 G のある元が 〈S〉 に含まれるという事は、その元は S の元および S の元の逆元の有限個の積で表されるという事である。 G の任意の元 a は巡回群 〈a〉 を生成する。 〈a〉 が適当な正の整数 n に対する Z/nZ と同型であるならば、n は an = e を満たす最小の正整数である。この n を a の位数 (order) という。もし 〈a〉 が Z と同型ならば、 a は無限位数を持つ、あるいは a の位数は無限大であるという。 与えられた群の部分群全体の成す集合は、包含関係に関して完備束になる。これを部分群の束と言う（この束の下限は通常の集合論的な意味での共通部分だが、上限は集合論的な意味での和集合ではなく、それから生成される部分群である）。G の単位元を e と書けば、単位群 {e} が G の最小の部分群であり、また最大の部分群は G そのものである。
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