部分群となること

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部分群となること

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/09/04 02:30 UTC 版)

「群の中心」の記事における「部分群となること」の解説

G の中心はつねに G の部分群となる。実際、 Z(G) は G の単位元 e を含む： e の定義から任意の g ∈ G について eg = g = ge ゆえ中心 Z(G) の定義から e ∈ Z(G) である。 Z(G) は積について閉じている： x, y がともに中心 Z(G) の元ならば、任意の g ∈ G に対して(xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy) ゆえに xy も Z(G) の元である。 Z(G) は逆元について閉じている：x が中心 Z(G) の元ならば gx = xg で、これに左右からひとつずつ x−1 を掛けることにより x−1g = gx−1 が得られるから x−1 ∈ Z(G) である。