部分群による同値関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/02 16:08 UTC 版)
「ラグランジュの定理 (群論)」の記事における「部分群による同値関係」の解説
群 G の要素 x, y に関して、群 G の部分群 H の要素 h を用いて、x = yh となるとき、x ～ y と定義する。G の単位元を e とすると、H は部分群だから e ∈ H であり、x = xe となるので、x ～ x である。h ∈ H のとき、H は部分群だから h-1 ∈ H となるので、x ～ y のとき、x = yh ⇔ xh-1 = y となり y ～ x である。x, y, z ∈ G に関して、x ～ y, y ～ z ならば x = yh1, y = zh2 (h1, h2 ∈ H) だから x = (zh2)h1 = z(h2h1) となる。H は部分群なので、h2h1 ∈ H となるから x ～ z である。したがって、～ は同値関係になる。
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