直和
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/15 18:57 UTC 版)
詳細は「区分的に定義された写像」を参照 ふたつの写像 f: X → Y, g: W → Y で、それらの定義域が交わりを持たない (X ∩ W = ∅) とき、これらのグラフの合併として写像の直和 f ⊕ g: X ∪ W → Y を定義する。これは具体的に ( f ⊕ g ) ( ξ ) = { f ( ξ ) ( ξ ∈ X ) g ( ξ ) ( ξ ∈ W ) {\displaystyle (f\oplus g)(\xi )={\begin{cases}f(\xi )&(\xi \in X)\\g(\xi )&(\xi \in W)\end{cases}}} と書ける区分的に定義された写像である。より一般に、X ∩ W ≠ ∅ のとき、二つの写像の X ∩ W への制限が f|X∩W = g|X∩W を満たすとき、直和写像 f ⊕ g は well-defined で、 ( f ⊕ g ) ( ξ ) = { f ( ξ ) ( ξ ∈ X ∖ W ) f | X ∩ W ( ξ ) = g | X ∩ W ( ξ ) ( ξ ∈ X ∩ W ) g ( ξ ) ( ξ ∈ W ∖ X ) {\displaystyle (f\oplus g)(\xi )={\begin{cases}f(\xi )&(\xi \in X\smallsetminus W)\\f|_{X\cap W}(\xi )=g|_{X\cap W}(\xi )&(\xi \in X\cap W)\\g(\xi )&(\xi \in W\smallsetminus X)\end{cases}}} を満たす。直和 f ⊕ g は f, g の共通の延長として最小であり、直和のグラフはそれぞれの写像のグラフの合併である。直和は可換である。 さらに一般の場合に、f: X → Y の g: W → Y による上書き和 (override union) と呼ばれる g の延長 f ⊕ g: X ∪ W → Y が g および f|X∖W のグラフの合併として与えられ、 ( f ⊕ g ) ( ξ ) = { f ( ξ ) ( ξ ∈ X ) g ( ξ ) ( ξ ∈ W ∖ X ) {\displaystyle (f\oplus g)(\xi )={\begin{cases}f(\xi )&(\xi \in X)\\g(\xi )&(\xi \in W\smallsetminus X)\end{cases}}} と書ける。上書き和は一般には可換でない。
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直和
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/04/21 14:08 UTC 版)
pi: Pi → Mi (1 ≤ i ≤ n) が射影被覆ならば、 (⊕pi): ⊕Pi → ⊕Mi も射影被覆である。
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直和
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 01:56 UTC 版)
ベクトル空間の直和上の外積代数はそれぞれの空間上の外積代数のテンソル積に同型 ⋀ ( V ⊕ W ) = ⋀ ( V ) ⊗ ⋀ ( W ) {\displaystyle \textstyle \bigwedge (V\oplus W)=\bigwedge (V)\otimes \bigwedge (W)} である。これは次数付き同型、つまり ⋀ k ( V ⊕ W ) = ⨁ p + q = k ⋀ p ( V ) ⊗ ⋀ q ( W ) {\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{k}(V\oplus W)=\bigoplus _{p+q=k}\bigwedge ^{p}(V)\otimes \bigwedge ^{q}(W)} になっている。もう少し一般に 0 → U → V → W → 0 {\displaystyle 0\to U\to V\to W\to 0} がベクトル空間の短完全列ならば ⋀k(V) はフィルター付け（英語版） 0 = F 0 ⊆ F 1 ⊆ ⋯ ⊆ F k ⊆ F k + 1 = ⋀ k ( V ) {\displaystyle \textstyle 0=F^{0}\subseteq F^{1}\subseteq \dotsb \subseteq F^{k}\subseteq F^{k+1}=\bigwedge ^{k}(V)} で、その商が F p + 1 / F p = ⋀ k − p ( U ) ⊗ ⋀ p ( W ) {\displaystyle \textstyle F^{p+1}/F^{p}=\bigwedge ^{k-p}(U)\otimes \bigwedge ^{p}(W)} なるものを持つ。特に、U が 1 次元ならば 0 → U ⊗ ⋀ k − 1 ( W ) → ⋀ k ( V ) → ⋀ k ( W ) → 0 {\displaystyle \textstyle 0\to U\otimes \bigwedge ^{k-1}(W)\to \bigwedge ^{k}(V)\to \bigwedge ^{k}(W)\to 0} は完全であり、W が 1 次元ならば 0 → ⋀ k ( U ) → ⋀ k ( V ) → ⋀ k − 1 ( U ) ⊗ W → 0 {\displaystyle \textstyle 0\to \bigwedge ^{k}(U)\to \bigwedge ^{k}(V)\to \bigwedge ^{k-1}(U)\otimes W\to 0} が完全である。
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直和
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:23 UTC 版)
二つのヒルベルト空間 H1 および H2 を足し併せて、（直交）直和と呼ばれる別のヒルベルト空間 H1 ⊕ H2 を作ることができる。この空間は(x1, x2) (xi ∈ Hi, i = 1,2) なる順序対の全体からなる集合を台に持ち、その上の内積を ⟨ ( x 1 , x 2 ) , ( y 1 , y 2 ) ⟩ H 1 ⊕ H 2 := ⟨ x 1 , y 1 ⟩ H 1 + ⟨ x 2 , y 2 ⟩ H 2 . {\displaystyle \langle (x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H_{1}\oplus H_{2}}:=\langle x_{1},y_{1}\rangle _{H_{1}}+\langle x_{2},y_{2}\rangle _{H_{2}}.} で定めたものになっている。より一般に、i ∈ I を添字とするヒルベルト空間の族 Hi に対して、その（外部）直和 ⨁ i ∈ I H i {\displaystyle \textstyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}} が、Hi のデカルト積の元 x = ( x i ∈ H i ∣ i ∈ I ) ∈ ∏ i ∈ I H i {\displaystyle \textstyle x=(x_{i}\in H_{i}\mid i\in I)\in \prod _{i\in I}H_{i}} で条件 ∑ i ∈ I ‖ x i ‖ 2 < ∞ {\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}\|x_{i}\|^{2}<\infty } を満たすもの全体から成る集合を台とし、内積を ⟨ x , y ⟩ = ∑ i ∈ I ⟨ x i , y i ⟩ H i {\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i\in I}\langle x_{i},y_{i}\rangle _{H_{i}}} で定めることによって定義される。このとき、各空間 Hi は直和空間の中へ閉部分空間として埋め込まれる。もっと言えば、埋め込まれた各 Hi はどの二つも互いに直交する。逆に、一つのヒルベルト空間において閉部分空間の族 Vi (i ∈ I) で各空間がどの二つも互いに直交しているようなものが与えられているとき、それら全ての和集合が全体空間 H の中で稠密になるならば、H は本質的に Vi たちの直和に同型である。この場合、H は Vi たちの内部直和であると言われる。（内部でも外部でも）直和には、i-番目の直和因子 Hi の上への直交射影 Ei の族が伴う。これらの直交射影はどれも有界・自己随伴かつ冪等な作用素であって、直交性条件 E i E j = 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle E_{i}E_{j}=0\quad (i\neq j)} が成り立つ。 ヒルベルト空間 H 上の自己随伴コンパクト作用素に対するスペクトル論によれば、H は或る作用素の固有空間の直交直和に分解され、またその作用素はその固有空間への射影の直和として明示的に表される。ヒルベルト空間の直和は、（素粒子を変数にもつ系のフォック空間など）量子力学においても用いられ、そこでは直和の各成分たるヒルベルト空間と量子力学系の余剰自由度とが対応する。表現論におけるピーター・ワイルの定理（英語版）によれば、ヒルベルト空間上で定義されるコンパクト群のユニタリ表現は必ず有限次元表現の直和に分解されることが保証される。
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