バナッハ空間の直和
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/07 03:48 UTC 版)
二つのバナッハ空間 X, Y の直和とは、X と Y を単にベクトル空間と見なしてとった直和に、ノルムを ‖ ( x , y ) ‖ := ‖ x ‖ X + ‖ y ‖ Y ( ∀ x ∈ X , ∀ y ∈ Y ) {\displaystyle \|(x,y)\|:=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}\quad (\forall x\in X,\forall y\in Y)} によって定めたものをいう。 一般に、バナッハ空間の族 Xi で、添字 i は添字集合 I をわたるものとするとき、直和 ⨁ i ∈ I X i {\displaystyle \textstyle \bigoplus _{i\in I}X_{i}} は、I 上で定義された函数 x であって、x(i) ∈ Xi (∀i ∈ I) かつ ‖ x ‖ := ∑ i ∈ I ‖ x ( i ) ‖ X i < ∞ {\displaystyle \|x\|:=\sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty } を満たすものすべてからなる加群である。ノルム ‖ x ‖ は上記の和で与えるものとすれば、このノルムを伴った直和は再びバナッハ空間となる。 例えば、添字集合を I = N にとり Xi = R であれば、直和 ⊕i∈NXi はノルム ‖ a ‖ := ∑i|ai| が有限となる実数列 (ai) 全体の成す数列空間 l1 である。 バナッハ空間 X の閉部分空間 A が補空間を持つ (complemented) とは、X の別の閉部分空間 B が存在して X は内部直和 A ⊕ B に等しいことをいう。必ずしもすべての閉部分空間が補空間を持つわけでないことに注意しよう、例えば零列の空間 c0 は有界数列の空間 l∞ において補空間を持たない。
※この「バナッハ空間の直和」の解説は、「加群の直和」の解説の一部です。
「バナッハ空間の直和」を含む「加群の直和」の記事については、「加群の直和」の概要を参照ください。
- バナッハ空間の直和のページへのリンク
