バナッハ空間上の有界作用素に対して
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/06 08:28 UTC 版)
「スペクトル分解 (関数解析学)」の記事における「バナッハ空間上の有界作用素に対して」の解説
X をバナッハ空間とし、L(X) を X 上の有界作用素の族とし、T ∈ L(X) とする。スペクトルの定義に従うと、ある複素数 λ が T のスペクトル σ(T) に含まれるとは、T − λ が L(X) 内に逆作用素を持たないことを言う。 T − λ が全単射であるなら、その逆作用素は有界である。この事実は、関数解析学の開写像定理より直接的に導かれる。したがって、λ が T のスペクトルに含まれるための必要十分条件は、T − λ が単射あるいは全射のいずれかでないこととなる。したがって次の三つのケースが考えられる： T − λ が単射でない場合。すなわち、X 内の二つの異なる元 x、y で (T − λ)(x) = (T − λ)(y) を満たすようなものが存在する場合。このとき、z = x − y は T(z) = λz を満たす非ゼロのベクトルとなる。言い換えると、λ は線型代数学の文脈における T の固有値となる。この場合、λ は T の点スペクトルと呼ばれ、σp(T) と表される。 T − λ が単射で、その値域 R が X の稠密な部分集合であるが、X 全体ではない場合。すなわち、X 内のある元 x で、それに (T − λ)(y) を X 内の y を選ぶことでいくらでも近付けることが出来るが、一致させることは出来ない場合。この場合、T − λ は下に有界でない（すなわち、お互い近くにあり過ぎる X の元を遠くに離す働きをする）ことが証明される。また同様に、稠密な部分集合 R 上で定義される線型逆作用素 (T − λ)−1 は有界作用素でなく、したがって X 全体に拡張することが出来ない。このとき、λ は T の連続スペクトル σc(T) に含まれると言われる。 T − λ が単射であるが、稠密な値域を持たない場合。すなわち、X 内のある元 x とその近傍 N で (T − λ)(y) が N に含まれないようなものが存在する場合。このとき、作用素 (T − λ) x → x は有界あるいは非有界であるが、どのような場合でも X 全体の上への有界線型写像への一意的な拡張は存在しない。この場合の λ は T の剰余スペクトル σr(T) に含まれると言われる。 以上より、σ(T) は三つの集合の直和 σ ( T ) = σ p ( T ) ∪ σ c ( T ) ∪ σ r ( T ) {\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{p}(T)\cup \sigma _{c}(T)\cup \sigma _{r}(T)} で与えられることが分かる。
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