直可約および直既約表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/06/22 14:52 UTC 版)
表現が直可約 (decomposable) であるとは、その表現の任意の行列を対角化する相似行列 P による相似変換 D ( a ) ↦ P − 1 D ( a ) P {\displaystyle D(a)\mapsto P^{-1}D(a)P} によって表現の各行列が同じパターンの対角ブロックに写されることを言う（各ブロックが互いに独立な群の表現を与える）。表現行列 D(a) と P−1D(a)P は同値な表現であるという。表現行列が k 個の行列の直和（英語版） D ( a ) = ( D ( 1 ) ( a ) 0 ⋯ 0 0 D ( 2 ) ( a ) ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ D ( k ) ( a ) ) = D ( 1 ) ( a ) ⊕ D ( 2 ) ( a ) ⊕ ⋯ ⊕ D ( k ) ( a ) {\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a)} に分解できるとき（つまり D(a) が直可約のとき）、各直和因子行列には D(n)(a) (n = 1, 2, …, k) のように普通は上付きの添字を括弧書きするが、括弧を付けないで書く文献もある。 D(a) の次元は、各ブロックの次元の総和 d i m [ D ( a ) ] = d i m [ D ( 1 ) ( a ) ] + d i m [ D ( 2 ) ( a ) ] + … + d i m [ D ( k ) ( a ) ] {\displaystyle \mathrm {dim} [D(a)]=\mathrm {dim} [D^{(1)}(a)]+\mathrm {dim} [D^{(2)}(a)]+\ldots +\mathrm {dim} [D^{(k)}(a)]} に一致する。 表現行列がこのようなブロック対角行列にできないとき、その表現は直既約 (indecomposable) であると言う。
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