直和およびテンソル積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/01/02 21:25 UTC 版)
「フルーリーの多重複素数」の記事における「直和およびテンソル積」の解説
各代数 𝓜ℂn は ℝ および ℂ からなる代数の直和 になる:n が偶数のとき: M C n ≅ C ⊕ C ⊕ ⋯ ⊕ C ⏟ n 2 summands = ⨁ n 2 C = C n 2 ; {\displaystyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}\cong \underbrace {\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \cdots \oplus \mathbb {C} } _{{\frac {n}{2}}{\text{ summands}}}=\bigoplus ^{\frac {n}{2}}\mathbb {C} =\mathbb {C} ^{\frac {n}{2}};} n が奇数のとき: M C n ≅ R ⊕ C ⊕ C ⊕ ⋯ ⊕ C ⏟ n − 1 2 summands = R ⊕ ⨁ n − 1 2 C = R × C n − 1 2 = R ⊕ M C n − 1 ; {\displaystyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}\cong \mathbb {R} \oplus \underbrace {\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \cdots \oplus \mathbb {C} } _{{\frac {n-1}{2}}{\text{ summands}}}=\mathbb {R} \oplus \bigoplus ^{\frac {n-1}{2}}\mathbb {C} =\mathbb {R} \times \mathbb {C} ^{\frac {n-1}{2}}=\mathbb {R} \oplus {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n-1};} あるいはまとめて: 𝓜ℂn ≅ ℝn mod 2 × ℂ⌊n/2⌋. ここから直ちに従うこととして:m ,n が何れか奇数でないならば 𝓜ℂm ⊕ 𝓜ℂn ≅ 𝓜ℂm+n; m, n がともに奇数のとき M C m ⊕ M C n ≅ M C m + n − 2 ⊕ C ╲ {\textstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{m}\oplus {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}\cong {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{m+n-2}\oplus \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown } 。 上記の性質を利用して、代数のテンソル積 ⊗ℝ が代数の直和 ⊕ の上に分配的であること、および同型 𝓜ℂ4 ≅ ℂ ⊗ℝ ℂ がわかる。そこから 𝓜ℂm ⊗ℝ 𝓜ℂn ≅ 𝓜ℂmn を示すのは容易。
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直和およびテンソル積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/18 05:42 UTC 版)
「零ベクトル空間」の記事における「直和およびテンソル積」の解説
ベクトル空間の直和（あるいはベクトル空間の直積）に関して、零ベクトル空間はその単位元である。つまり任意のベクトル空間 V に対して { 0 } ⊕ V ≅ V ≅ V ⊕ { 0 } ( { 0 } × V ≅ V ≅ V × { 0 } {\displaystyle \{0\}\oplus V\cong V\cong V\oplus \{0\}\qquad (\{0\}\times V\cong V\cong V\times \{0\}} が成り立つ。一方、ベクトル空間のテンソル積に関しては吸収元（零元）で { 0 } ⊗ V ≅ { 0 } ≅ V ⊗ { 0 } {\displaystyle \{0\}\otimes V\cong \{0\}\cong V\otimes \{0\}} が成り立つ。
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