数式での表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/28 08:49 UTC 版)
見せかけの回帰は以下のようにして数式として表現される。次のような2つのランダムウォーク過程を考える。 x t = x t − 1 + w t {\displaystyle x_{t}=x_{t-1}+w_{t}} y t = y t − 1 + v t {\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+v_{t}} ただし、 w t , v t {\displaystyle w_{t},v_{t}} はIID（独立かつ同一分布に従う）で E [ w t ] = E [ v t ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} [w_{t}]=\operatorname {E} [v_{t}]=0} Var ( w t ) = σ w 2 , Var ( v t ) = σ v 2 {\displaystyle \operatorname {Var} (w_{t})=\sigma _{w}^{2},\quad \operatorname {Var} (v_{t})=\sigma _{v}^{2}} であるとする。また w t {\displaystyle w_{t}} と v t {\displaystyle v_{t}} は互いに独立であると仮定する。この仮定により x t {\displaystyle x_{t}} と y t {\displaystyle y_{t}} もまた互いに独立な無関係である変数となることが分かる。 ここで次のような線形回帰式を最小二乗法で推定する。 y t = α + β x t + ϵ t {\displaystyle y_{t}=\alpha +\beta x_{t}+\epsilon _{t}} x t {\displaystyle x_{t}} と y t {\displaystyle y_{t}} には何の関係もないので β = 0 {\displaystyle \beta =0} である。しかし、この回帰式の、 T {\displaystyle T} 個の観測値においての最小二乗法による β {\displaystyle \beta } 推定量 β ^ T {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{T}} は以下の確率変数に分布収束する。 β ^ T → d σ v σ w ∫ 0 1 V ( t ) W ( t ) d t − ∫ 0 1 V ( t ) d t ∫ 0 1 W ( t ) d t ∫ 0 1 W ( t ) 2 d t − ( ∫ 0 1 W ( t ) d t ) 2 {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{T}\ {\xrightarrow {d}}\ {\frac {\sigma _{v}}{\sigma _{w}}}{\frac {\int _{0}^{1}V(t)W(t)dt-\int _{0}^{1}V(t)dt\int _{0}^{1}W(t)dt}{\int _{0}^{1}W(t)^{2}dt-\left(\int _{0}^{1}W(t)dt\right)^{2}}}} ここで W ( t ) , V ( t ) {\displaystyle W(t),\ V(t)} は互いに独立なブラウン運動である。そして帰無仮説 β = 0 {\displaystyle \beta =0} についてのt検定統計量 t β {\displaystyle t_{\beta }} はある確率変数 Z {\displaystyle Z} に対して t β T → d Z {\displaystyle {\frac {t_{\beta }}{\sqrt {T}}}\ {\xrightarrow {d}}\ Z} となる。検定統計量 t β {\displaystyle t_{\beta }} を T {\displaystyle {\sqrt {T}}} で割ったものがある確率変数 Z {\displaystyle Z} に分布収束するので、検定統計量そのものはマイナス無限大か無限大に発散する。よって観測個数 T {\displaystyle T} が十分大きければ検定統計量 t β {\displaystyle t_{\beta }} は棄却値を上回ることが予想される。 ここで問題となっているのは真の値 β = 0 {\displaystyle \beta =0} の下で誤差項 ϵ t {\displaystyle \epsilon _{t}} が非定常過程（単位根過程）となっていることである。
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数式での表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/04/02 03:49 UTC 版)
「ブラック–リッターマン・モデル」の記事における「数式での表現」の解説
ブラック–リッターマン・モデルはベイズ統計学のテクニックを利用したものとなる。以下ではSatchell and Scowcroft & (2000)よりブラック–リッターマン・モデルの数式表現を説明する。 まず、市場には n {\displaystyle n} 個の資産が存在するものとする。これらの資産の期待リターン μ {\displaystyle \mu } は（投資家にとって）確率変数であるものとする。つまり、投資家は期待リターンの値そのものを事前にはわからないということを表現している。さらに Π {\displaystyle \Pi } を観測された期待リターンとする。仮定として、 Π {\displaystyle \Pi } の μ {\displaystyle \mu } を所与とした条件つき確率分布は平均 μ {\displaystyle \mu \,} 、分散 τ Σ {\displaystyle \tau \Sigma } の n {\displaystyle n} 変量正規分布であるとする。ここで Σ {\displaystyle \Sigma } は資産リターンそのものの分散行列であり、 τ {\displaystyle \tau } は投資家が考えている期待リターンの推定値 Π {\displaystyle \Pi } の正確さの程度を表している。 τ = 0 {\displaystyle \tau =0} ならば、投資家は観測された Π {\displaystyle \Pi } が真の期待リターン μ {\displaystyle \mu \,} と一致していると考えていると解釈できる。 さらに投資家は事前に期待リターンに対してある程度の信念を持っているとする。 X {\displaystyle X} を k {\displaystyle k} 個の変数で表される投資家の期待リターンに対する事前的な信念とすると、次が成り立つ。 X = P μ ∼ N ( q , Ω ) {\displaystyle X=P\mu \sim N(q,\Omega )} ここで P {\displaystyle P} は k {\displaystyle k} 行 n {\displaystyle n} 列の行列であり、 q {\displaystyle q} は k {\displaystyle k} 次のベクトル、 Ω {\displaystyle \Omega } は k {\displaystyle k} 次の対角行列である。よって、 X {\displaystyle X} は平均 q {\displaystyle q} 分散 Ω {\displaystyle \Omega } の正規分布に従う。これはどのように解釈すればよいかと言うと、例えばある特定のポートフォリオの期待リターンについての信念と考えることが出来る。 P {\displaystyle P} を時価総額加重平均ポートフォリオを横に並べた 1 行 n 列の行列だと考えると X = P μ {\displaystyle X=P\mu } は時価総額加重平均株価指数の期待リターンであり、それが平均 q {\displaystyle q} 分散 Ω {\displaystyle \Omega } の正規分布に従うと投資家は事前に考えていると解釈できる。 ここで求めたいのは観測された期待リターン Π {\displaystyle \Pi } で条件づけられた期待リターン μ {\displaystyle \mu } の条件付き期待値である。このような条件付き期待値が投資家の予測する事後的な期待リターンと見なすことが出来る。ベイズの定理から f {\displaystyle f} が密度関数を表すとすれば、次が成立する。 f ( μ | Π ) ∝ f ( Π | μ ) f ( μ ) = f ( Π | μ ) f ( X ) {\displaystyle f(\mu \;|\;\Pi )\propto f(\Pi \;|\;\mu )f(\mu )=f(\Pi \;|\;\mu )f(X)} ここで仮定より Π {\displaystyle \Pi } の μ {\displaystyle \mu } で条件づけられた分布と X = P μ {\displaystyle X=P\mu } の事前分布は分かっているので f ( Π | μ ) f ( X ) {\displaystyle f(\Pi \;|\;\mu )f(X)} は計算可能である。計算すると、 f ( Π | μ ) f ( X ) ∝ exp { − 1 2 ( μ − μ B L ) ′ Σ B L − 1 ( μ − μ B L ) } {\displaystyle f(\Pi \;|\;\mu )f(X)\propto \exp \left\{-{\frac {1}{2}}{\Big (}\mu -\mu _{BL}{\Big )}^{\prime }\Sigma _{BL}^{-1}{\Big (}\mu -\mu _{BL}{\Big )}\right\}} となる。ここで ′ {\displaystyle \prime } はベクトル、行列の転置を表し、 μ B L = ( ( τ Σ ) − 1 + P ′ Ω − 1 P ) − 1 ( ( τ Σ ) − 1 Π + P ′ Ω − 1 q ) , {\displaystyle \mu _{BL}={\Big (}(\tau \Sigma )^{-1}+P^{\prime }\Omega ^{-1}P{\Big )}^{-1}{\Big (}(\tau \Sigma )^{-1}\Pi +P^{\prime }\Omega ^{-1}q{\Big )},} Σ B L = ( ( τ Σ ) − 1 + P ′ Ω − 1 P ) − 1 {\displaystyle \Sigma _{BL}={\Big (}(\tau \Sigma )^{-1}+P^{\prime }\Omega ^{-1}P{\Big )}^{-1}} である。つまり、（ Π {\displaystyle \Pi } が観測された後という意味で）事後的な期待リターン μ {\displaystyle \mu } の分布は平均 μ B L {\displaystyle \mu _{BL}} 分散 Σ B L {\displaystyle \Sigma _{BL}} の正規分布に従う。以上から、投資家は平均分散分析に使う期待リターンを μ B L {\displaystyle \mu _{BL}} とすれば、観測された期待リターン Π {\displaystyle \Pi } と事前的な自身の信念を組み合わせた上でポートフォリオ選択が可能になる。 観測された期待リターン Π {\displaystyle \Pi } も標本平均を使うのではなく、以下のような方法で特定する。CAPMが成立しているのであれば、次が成立する。 Π = δ Σ w m {\displaystyle \Pi =\delta \Sigma w_{\mathrm {m} }} ここで δ {\displaystyle \delta } は市場ポートフォリオ（時価総額加重型指数）のリスクプレミアムを分散で割ったものであり、 w m {\displaystyle w_{\mathrm {m} }} は市場ポートフォリオベクトル、つまり各資産の時価総額を市場全体の時価総額で割ったものを並べたベクトルである。このようにして計算された Π {\displaystyle \Pi } を用いる。マルチファクターモデルであっても、ファクターがポートフォリオで複製可能ならば、同様にして Π {\displaystyle \Pi } を計算することが出来る。 重要となるのは投資家の信念における正確さを表すパラメーターである τ , Ω {\displaystyle \tau ,\Omega } の値であるが、これらの値に何を使うべきかという決まった値はなく、投資家自身の選択にゆだねられている。
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