平均分散分析
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/05 09:14 UTC 版)
「現代ポートフォリオ理論」の記事における「平均分散分析」の解説
現代ポートフォリオ理論の仮定の一つとして、投資家は自身の投資の収益率の分布についてその平均と分散のみを考慮し、歪度や尖度といった他の分布の特徴には関心を持たないことがある。このように平均と分散のみに着目したポートフォリオ選択理論を平均分散分析(英: mean-variance analysis)と呼ぶ。このような投資家の選好は平均分散型効用関数や期待効用関数であれば、2次効用関数、あるいは収益率の分布が同時正規分布に従う場合に正当化される。 数学的表現 設定金融市場には金融資産が n {\displaystyle n} 個存在すると仮定する。さらに任意の金融資産 i {\displaystyle i} について、その収益率を R i {\displaystyle R_{i}} とする。そして金融市場は完全市場であると仮定する。さらにすべての金融資産 i {\displaystyle i} にはリスクが存在するものとする。つまり、全ての資産の収益率 R i {\displaystyle R_{i}} の分散は必ず0より厳密に大きいものとする。 投資家は自身の資金の 100 w i {\displaystyle 100w_{i}} パーセントを金融資産 i {\displaystyle i} に投資するものとする。この投資比率を表す w i , i = 1 , … , n {\displaystyle w_{i},i=1,\dots ,n} をポートフォリオ と呼ぶことにする。比率なので ∑ i = 1 n w i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1} を満たす。ポートフォリオ w i {\displaystyle w_{i}} による投資の収益率を R p {\displaystyle R_{p}} と表すことにする。 E , Var , Cov , Corr {\displaystyle \operatorname {E} ,\;\operatorname {Var} ,\;\operatorname {Cov} ,\;\operatorname {Corr} } をそれぞれ期待値、分散、共分散、相関係数のオペレーターとする。 ポートフォリオの期待収益率： E ( R p ) = ∑ i = 1 n w i E ( R i ) {\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})\quad } ポートフォリオの収益率の分散： σ p 2 = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n w i w j Cov ( R i , R j ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n w i w j σ i σ j ρ i j {\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\operatorname {Cov} (R_{i},R_{j})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}} ただし σ i = Var ( R i ) , ρ i j = Corr ( R i , R j ) {\displaystyle \sigma _{i}={\sqrt {\operatorname {Var} (R_{i})}},\;\rho _{ij}=\operatorname {Corr} (R_{i},R_{j})} である。 2つの資産からなるポートフォリオの場合：ポートフォリオの期待収益率： E ( R p ) = w A E ( R A ) + ( 1 − w A ) E ( R B ) = w A E ( R A ) + w B E ( R B ) {\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})} ポートフォリオの収益率の分散： σ p 2 = w A 2 σ A 2 + w B 2 σ B 2 + 2 w A w B ρ A B σ A σ B {\displaystyle \sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+2w_{A}w_{B}\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}} 3つの資産からなるポートフォリオの収益率の分散： σ p 2 = w A 2 σ A 2 + w B 2 σ B 2 + w C 2 σ C 2 + 2 w A w B ρ A B σ A σ B + 2 w A w C ρ A C σ A σ C + 2 w B w C ρ B C σ B σ C = ( w A w B w C ) ( σ A 2 ρ A B σ A σ B ρ A C σ A σ C ρ A B σ A σ B σ B 2 ρ B C σ B σ C ρ A C σ A σ C ρ B C σ B σ C σ C 2 ) ( w A w B w C ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{p}^{2}&=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+w_{C}^{2}\sigma _{C}^{2}+2w_{A}w_{B}\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}+2w_{A}w_{C}\rho _{AC}\sigma _{A}\sigma _{C}+2w_{B}w_{C}\rho _{BC}\sigma _{B}\sigma _{C}\\&=\left({\begin{matrix}w_{A}&w_{B}&w_{C}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\sigma _{A}^{2}&\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}&\rho _{AC}\sigma _{A}\sigma _{C}\\\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}&\sigma _{B}^{2}&\rho _{BC}\sigma _{B}\sigma _{C}\\\rho _{AC}\sigma _{A}\sigma _{C}&\rho _{BC}\sigma _{B}\sigma _{C}&\sigma _{C}^{2}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}w_{A}\\w_{B}\\w_{C}\end{matrix}}\right)\end{aligned}}} 金融資産の数 n {\displaystyle n} が大きい時は行列による表現が用いられる。 投資家のポートフォリオ選択問題 投資家は所与の(目標)期待収益率 μ p {\displaystyle \mu _{p}} を達成するポートフォリオの中で最も収益率の分散が小さくなるものを選択する。つまり、以下の最小化問題を解く。 min σ p 2 {\displaystyle {\mbox{min }}\sigma _{p}^{2}} subject to ∑ i = 1 n E ( R i ) w i = μ p , ∑ i = 1 n w i = 1 {\displaystyle {\mbox{subject to }}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (R_{i})w_{i}=\mu _{p},\quad \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1} この問題は2次計画問題になっている。一般の n {\displaystyle n} 個の金融資産が存在する場合の最小化問題の解析解はロバート・マートンによって与えられていて、リスク資産の収益率の分散共分散行列 Ω = ( σ 11 ⋯ σ 1 n ⋮ ⋱ ⋮ σ n 1 ⋯ σ n n ) = ( Var ( R 1 ) ⋯ Cov ( R 1 , R n ) ⋮ ⋱ ⋮ Cov ( R n , R 1 ) ⋯ Var ( R n ) ) {\displaystyle \Omega =\left({\begin{matrix}\sigma _{11}&\cdots &\sigma _{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{n1}&\cdots &\sigma _{nn}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}\operatorname {Var} (R_{1})&\cdots &\operatorname {Cov} (R_{1},R_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\operatorname {Cov} (R_{n},R_{1})&\cdots &\operatorname {Var} (R_{n})\end{matrix}}\right)} の逆行列を Ω − 1 = ( v 11 ⋯ v 1 n ⋮ ⋱ ⋮ v n 1 ⋯ v n n ) {\displaystyle \Omega ^{-1}=\left({\begin{matrix}v_{11}&\cdots &v_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n1}&\cdots &v_{nn}\end{matrix}}\right)} とすると、 w i = 1 D ( μ p ∑ j = 1 n v i j ( C E ( R j ) − A ) + ∑ j = 1 n v i j ( B − A E ( R j ) ) ) , i = 1 , … , n {\displaystyle w_{i}={\frac {1}{D}}\left(\mu _{p}\sum _{j=1}^{n}v_{ij}(C\operatorname {E} (R_{j})-A)+\sum _{j=1}^{n}v_{ij}(B-A\operatorname {E} (R_{j}))\right),\quad i=1,\dots ,n} となる。ただし A = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n v i j E ( R j ) , B = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n v i j E ( R i ) E ( R j ) , C = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n v i j , D = B C − A 2 > 0 {\displaystyle A=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}v_{ij}\operatorname {E} (R_{j}),\;B=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}v_{ij}\operatorname {E} (R_{i})\operatorname {E} (R_{j}),\;C=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}v_{ij},\;D=BC-A^{2}>0} である。さらにこのポートフォリオに投資した時、期待収益率と収益率の分散について以下の関係が成立する。 σ p 2 = C μ p 2 − 2 A μ p + B D ⋯ ( 1 ) {\displaystyle \sigma _{p}^{2}={\frac {C\mu _{p}^{2}-2A\mu _{p}+B}{D}}\quad \cdots (1)}
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