平均値の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/06/18 02:16 UTC 版)
φ(x) を Rn 内の領域 U で定義された調和関数とする。このとき、ある点 x ∈ U における値 φ(x) は、点 x を中心として U に含まれる任意の半径 r を持つ (n − 1)-次元球面 ∂B(x,r) 上での φ の平均値に等しい。すなわち、 ϕ ( x ) = 1 ω ( n ) r n − 1 ∫ ∂ B ( x , r ) ϕ ( y ) d S ( y ) {\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\omega (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}\!\!\phi (y)dS(y)} ω ( n ) = n π n / 2 Γ ( n 2 + 1 ) {\displaystyle \omega (n)={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}} ϕ ( x ) = 1 α ( n ) r n ∫ B ( x , r ) ϕ ( y ) d y {\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\alpha (n)r^{n}}}\int _{B(x,r)}\!\!\phi (y)dy} α ( n ) = π n / 2 Γ ( n 2 + 1 ) {\displaystyle \alpha (n)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}} で与えられる n-次元単位球の体積である。 逆にφ ∈ C2(U)は、φ(x)がU内の任意の球面∂ B(x,r)上の平均と一致するならば、φは調和関数となる。
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