平均値の定理によるもの
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/09 02:09 UTC 版)
平均値の定理から、導関数 f' が割線の傾きに等しくなるような実数 ξ が区間 (x, y) の中に存在する。すなわち ∃ ξ ∈ ( x , y ) : f ′ ( ξ ) = f ( x ) − f ( y ) x − y . {\displaystyle \exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}.} 対数平均は関数 f に自然対数 ln を、そしてその導関数 f' に 1/ξ を代入し、ξ について解くことで得られる。 1 ξ = ln x − ln y x − y ∴ M lm = ξ = x − y ln x − ln y {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln {x}-\ln {y}}{x-y}}\\\therefore \quad &M_{\text{lm}}=\xi ={\frac {x-y}{\ln {x}-\ln {y}}}\end{aligned}}}
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平均値の定理によるもの
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対数の n 階導関数についての差商に対する平均値の定理を考慮することにより、対数平均を n+1 変数に一般化できる。結果、 M MV ( x 0 , … , x n ) = ( − 1 ) n − 1 n ln [ x 0 , … , x n ] − n {\displaystyle M_{\text{MV}}(x_{0},\dots ,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{n-1}n\ln \left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]}}} を得る。ただし ln[x0, ..., xn] は対数の差商を表し、差商に対する平均値の定理よりある ξ に対して ln [ x 0 , … , x n ] = 1 n ! [ d n d x n ln x ] x = ξ = ( − 1 ) n − 1 n ξ n {\displaystyle \ln \left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]={\frac {1}{n!}}\left[{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\ln {x}\right]_{x=\xi }={\frac {(-1)^{n-1}}{n\xi ^{n}}}} が成り立つ。この式を ξ について解くことで上式は導かれる。 たとえば n = 2 のとき、3変数 x, y, z の対数平均は以下となる。 M MV ( x , y , z ) = ( x − y ) ( y − z ) ( z − x ) 2 { ( y − z ) ln x + ( z − x ) ln y + ( x − y ) ln z } {\displaystyle M_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2\left\{\left(y-z\right)\ln {x}+\left(z-x\right)\ln {y}+\left(x-y\right)\ln {z}\right\}}}}}
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