解析学 における差商 に対する平均値の定理 (へいきんちのていり、英 : mean value theorem )は、平均値の定理 を高階導函数 に対するものへ一般化する[1] 。
定理の主張
平均値の定理
どの二つも相異なる n + 1 個の点 x 0 , …, xn を含む定義域上で n 回微分可能な函数 f に対し、内点
ξ
∈
(
min
{
x
0
,
…
,
x
n
}
,
max
{
x
0
,
…
,
x
n
}
)
{\displaystyle \xi \in (\min\{x_{0},\dots ,x_{n}\},\,\max\{x_{0},\dots ,x_{n}\})}
が存在して、その点での f の n -階微分係数が、与えられた点における n -次差商 の n ! -倍に等しい。式で書けば
f
[
x
0
,
…
,
x
n
]
=
f
(
n
)
(
ξ
)
n
!
{\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}}
が成り立つ。
n = 1 のとき、上記の主張は函数の二点間の値に対する、通常の平均値の定理 である。
証明
点 x 0 , …, xn における f のラグランジュ補間多項式 を P とするとき、ニュートン形 を考えれば P の最高次項は
f
[
x
0
,
…
,
x
n
]
(
x
−
x
n
−
1
)
⋯
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
0
)
{\textstyle f[x_{0},\dots ,x_{n}](x-x_{n-1})\dotsb (x-x_{1})(x-x_{0})}
である。
g ≔ f − P をこの補間の誤差項とすれば、g は x 0 , …, xn という n + 1 個の零点を持つ。ロルの定理 をまず g に適用し、さらに g′ に適用し、以下同様に g (n −1) まで適用すれば、g (n ) が零点 ξ を持つことが分かる。したがって
0
=
g
(
n
)
(
ξ
)
=
f
(
n
)
(
ξ
)
−
f
[
x
0
,
…
,
x
n
]
n
!
{\displaystyle 0=g^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )-f[x_{0},\dots ,x_{n}]n!}
となり、整理すれば
f
[
x
0
,
…
,
x
n
]
=
f
(
n
)
(
ξ
)
n
!
{\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}}
を得る。
応用
差商に対する平均値定理を用いれば、Stolarsky平均(英語版 ) を多変数に一般化することができる。
参考文献
^ de Boor, C. (2005). “Divided differences”. Surv. Approx. Theory 1 : 46–69. MR 2221566 .